9.Determine o nº de termos da P.A. ( 9, 12, ...., 63 )
Soluções para a tarefa
Resposta:
Total de termos: 19
Explicação passo-a-passo:
Pela fórmula geral:
an = a1+(n-1).r
r = 12-9 = 3 (razão é 3)
a1 = 9 (primeiro termo)
an = 63 (último termo)
n = (número de termos)
Substituindo:
63 = 9+(n-1).3 ---> 63 = 9 + 3n-3 --> 63 - 6 = 3n
Logo, n = 57/3 = 19
Abraços.
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da P.A. (9, 12, ..., 63), tem-se:
a)trata-se de uma progressão aritmética (PA) finita, porque se sabe qual é o último termo, embora não se conheça a sua posição, a ordem em que ele se encontra na referida sequência;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 9
c)último termo (an): 63 (Chama-se último termo ou enésimo termo porque não se conhece a posição (a ordem) que ele ocupa na progressão.)
d)número de termos (n): ? (Embora não se saiba o seu valor, necessariamente se diz que será positivo, porque não existe indicação de quantidade por meio números negativos.)
e)por meio da observação dos dois primeiros termos e do último da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer).
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 12 - 9 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o número de termos:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
63 = 9 + (n - 1) . (3) ⇒
63 = 9 + 3n - 3 ⇒
63 = 6 + 3n ⇒
63 - 6 = 3n ⇒
57 = 3n ⇒
57/3 = n ⇒
19 = n ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
n = 19
Resposta: O número de termos da P.A(9, 12, ..., 63) é 19.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo n = 19 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o número de termos realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
63 = a₁ + (19 - 1) . (3) ⇒
63 = a₁ + (18) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)
63 = a₁ + 54 ⇒
63 - 54 = a₁ ⇒
9 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = 9 (Provado que n = 19.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).
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