Question

9. A figura mostra um retângulo ABCD de lado AD=4 cm, e onde M é o ponto médio do segmento AB. Sabendo que os segmentos AC e DM são ortogonais, calcule a área do retângulo ABCD.

Answer 1

Considere a figura abaixo.

Considere que AB = x. Como M é ponto médio, então AM = MB = $\frac{x}{2}$

Seja GO = h. Então HO = 4 - h.

Fazendo semelhança de triângulos entre ΔAMO e ΔODC:

$\frac{\frac{x}{2}}{x} = \frac{h}{4-h}$

$h = \frac{4}{3}$

Logo, $HO = \frac{8}{3}$

Considere que EO = y. Então OF = x - y.

Fazendo semelhança entre os triângulos ΔAEO e ΔOFC:

$\frac{4}{3y} = \frac{8}{3x-3y}$

$\frac{x-y}{y} = 2$

x - y = 2y

x = 3y

$y=\frac{x}{3}$

Agora, observe o triângulo ΔODC.

Temos que $DH=\frac{x}{3}$  e $HC=\frac{2x}{3}$

Utilizando a relação métrica no triângulo ΔODC:

$(\frac{8}{3})^2 = \frac{x}{3}.\frac{2x}{3}$

64 = 2x²

x² = 32

x = 4√2

Logo, a área do retângulo ABCD é: 4.4√2 = 16√2 cm².