Question

80 pontos!!!
Dados os pontos A = (1, 1, 2), B = (−1, 3, 0). Determine um ponto E sobre o segmento AB de tal forma que 2AE = EB

Answer 1

Imagine o ponto hipotético $E=(x,y,z)$. Vamos encontrar a Distância AE e EB de forma que elas contemplem a solução:

Distância AE:

$AE=(x,y,z)-(1,1,2)=(x-1,y-1,z-2)$

Distância EB:

$(-1,3,0)-(x,y,z)=(-1-x,3-y,-z)$

Colocamos agora na condição:

$2(x-1,y-1,z-2)=<span>(-1-x,3-y,-z)$

$(2x-2,2y-2,2z-4)=<span>(-1-x,3-y,-z)$

Igulando um a um:

$2x-2=-1-x$

$3x=1$

$x= \frac{1}{3}$

Fazendo as outras contas, temos:

$E=( \frac{1}{3} , \frac{5}{3} , \frac{4}{3} )$

Para que esse ponto perteça ao segmento AB, deve existir uma única combinação de w e z não nula, tal que:

$w*(1,1,2) + z*(-1,3,0)=( \frac{1}{3} , \frac{5}{3} , \frac{4}{3} )$

Fazendo as contas (se não sober como, pergunte) vericamos que existe w e z. Isso significa que o ponto está no segmento! Até mais e boa sorte.