8. Uma prova é formada por 45 questões de múltipla escolha. Cada resposta correta vale 1 ponto e para cada resposta errada desconta-se 0,25 ponto: questões não respondidas não são pontuadas. Um estudante obteve 28 pontos nessa prova. Qual é o número máximo de questões que ele pode ter acertado?
Soluções para a tarefa
Temos os seguintes cenários onde o estudante obteria 28 pontos dentro destas condições:
- Acertou 28 e deixou 17 sem responder;
- Acertou 29, errou 4 e deixou 12 sem responder;
- Acertou 30, errou 8 e deixou 7 sem responder;
- Acertou 31, errou 12 e deixou 2 sem responder.
Não seria possível ele acertar mais de 31 questões. Pois o número de questões que ele teria que errar para obter 28 pontos iria exceder as 45 questões que a prova possui.
Com isso concluímos que ele pode ter acertado no máximo 31 questões.
O número máximo de questões que ele pode acertar é de 31 questões.
Sistema de Equações
Em matemática, um sistema de equações, é um conjunto finito de equações para o qual se busca soluções que se relacionam entre si. Neste caso podemos dividir o sistema em três variáveis, x, y e z, na qual respectivamente irão significar acertos, erros e não respondidas:
- Sabendo que a prova é formada por 45 questões podemos estabelecer nossa primeira equação: x + y + z = 45
- Cada resposta correta vale 1 ponto, logo a variável x na nossa segunda equação será multiplicada por 1, as respostadas erradas descontam 0,25 então teremos a presença de um sinal negativo ao lado da variável que representa as respostas erradas e como as questões não respondidas não pontuam não é preciso levar em conta a variável z pois ela será multiplicada por zero, tendo assim: 1.x - 0,25y + 0.z = 28 pois foi o total que o estudante obteve
- Por fim temos que o nosso sistema de equações é dado por:
- Temos da segunda equação que y será múltiplo de 4:
- Também da segunda equação podemos afirmar que o número de acertos x será maior do que 28 devido a:
- Agora forçando z = 0 na primeira equação e substituindo valor de y da segunda equação na primeira equação obtemos:
- Até então temos que 28 ≥ x > 31,4 , analisando melhores os valores de z na primeira equação, por exemplo com z = 1 temos:
- Que ainda nos dá um valor "quebrado" então podemos testar z = 2:
Logo teremos que o número de acertos máximo será de 31 com 2 questões não respondidas e 12 respostas erradas.
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