Question

8) Um copo tem a forma de um tronco de cone circular reto com as seguintes dimensões:12 cm e 20 cm para os raios das bases menor e maior, respectivamente, sendo que a geratriz do tronco mede 17 cm. Obter o volume desse copo.

Answer 1

• O volume do copo é obtido calculando a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor. (Veja na figura anexa)

• Considere:

R: raio da base maior (R = 20 cm)

r: raio da base menor (r = 12 cm)

g: geratriz do tronco (g = 17 cm)

h: altura do cone menor

H: altura do cone maior

p: altura do copo

$\large \sf A_{b}$: área da base do cone

• Determine as alturas h e H. Observe na figura anexa. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC:

17² = p² + (20 − 12)²

17² = p² + 8²

p² = 17² − 8²

p = 15 cm

• Observe que os triângulos ABC e OBV são semelhantes. Aplicando a razão de semelhança.

$\large \sf \dfrac{AB}{p} = \dfrac{R}{H}$

$\large \sf \dfrac{8}{15} = \dfrac{20}{H}$

$\large \sf H = \dfrac{75}{2} ~ cm$

h = H − p

$\large \sf h = \dfrac{75}{2} -15 = \dfrac{45}{2} ~ cm$

• O volume do cone é obtido por:

$\large \text { \sf V= \dfrac{A_{b} \cdot h}{3} }$

• O volume do cone maior é obtido por:

$\large \text { \sf V_M= \dfrac{A_{bM} \cdot h}{3} = \dfrac{\pi R^2\cdot H}{3} }$

• O volume do cone menor é obtido por:

$\large \text { \sf V_m= \dfrac{A_{bm} \cdot h}{3} = \dfrac{\pi r^2\cdot h}{3} }$

• O volume do copo é obtido calculando a diferença entre o volume do cone maior e o volume do cone menor.

$\large \sf V= V_M - V_m = \dfrac{\pi R^2\cdot H}{3} - \dfrac{\pi r^2\cdot h}{3}$

$\large \sf V= \dfrac{\pi}{3} ({H R^2- hr^2})$

$\large \text { \sf V= \dfrac{\pi}{3} \left( {\dfrac{75}{2} 20^2- \dfrac{45}{2} 12^2} \right) = \dfrac{\pi}{3} \cdot 11760 }$

V = 3920π cm³

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