8. A figura abaixo representa um retângulo ABCD. Sabendo que AB=27cm e AD=21 cm, calcule o valor de x de modo que a soma das áreas dos retângulos em azul seja máxima.
Soluções para a tarefa
área dos dois retangulos
A(x) = x*(21 - x) + x*(27 - x)
A(x) = 21x - x² + 27x - x²
A(x) = -2x² + 48x
vértice
Vx = -b/2a = -48/-4 = 12
Vy = A(12) = -2*12² + 48*12 = -288 + 576 = 288
resposta x = 12
O valor de x deve ser igual a 12 cm para a soma das áreas dos retângulos em azul seja máxima.
Para solucionar a questão devemos representar a situação descrita através de uma expressão algébrica.
O que é uma expressão algébrica?
As expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.
A área dos retângulos delimitados com a cor azul é dada por:
A(x) = x.(AB-x) + x.(AD-x)
Como AB = 27 cm e AD = 21 cm, temos:
A(x) = x.(27-x) + x.(21-x) ⇒ A(x) = 27x-x²+21x-x²
A(x) = -2x²+48x
Para determinar o valor máximo de x devemos calcular a coordenada x do vértice:
xv = -b/(2a)
Sendo:
- xv = x do vértice
- b e a = coeficientes da equação de segundo grau
Desse modo, temos:
xv = -(48)/(2.(-2)) ⇒ x = 48/4
xv = 12
Portanto, x deve ser igual a 12 cm para a soma das áreas dos retângulos em azul seja máxima.
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