Question

75 PONTOS GALERA
Uma reação química que apresenta um dos componentes o sulfeto de hidrogênio possui sua temperatura em grau Celsius modelada pela função: T(s)=s^3-12s^2+45s+2, onde T é a temperatura observada após s segundos do início da reação química (s>0).
Utilizando os conceitos de máximos e mínimos locais determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da temperatura dessa reação química após o seu início.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo locais de uma função de uma variável, utilizaremos os testes das derivadas primeira e segunda. A partir dessas informações, podemos analisar quais são os intervalos de crescimento e decrescimento do gráfico de uma função.

Seja a temperatura, em graus Celsius, de uma reação química modelada pela função: $T(s)=s^3-12s^2+45s+2$, em que $T$ é a temperatura observada após $s$ segundos do início da reação, $s>0$.

Para encontrarmos os pontos críticos da função, calculamos sua primeira derivada e a igualamos a zero:

$\dfrac{d}{ds}(T(s))=\dfrac{d}{ds}(s^3-12s^2+45s+2)$

Reescrevemos $\dfrac{d}{ds}(T(s))=T'(s)$ e aplicamos as regras de derivação:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada por: $(s^n)'=n\cdot s^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pela regra do produto e a regra anterior: $(a\cdot f(s))'=a\cdot f'(s)$.

$T'(s)=3\cdot s^2-12\cdot 2s+45\cdot 1+0\\\\\\ T'(s)=3s^2-24s+45$

Então, igualamos a derivada a zero

$T'(s)=0\Rightarrow 3s^2-24s+45=0$

Aplicamos a fórmula resolutiva para equações quadráticas

$s=\dfrac{-(-24)\pm\sqrt{(-24)^2-4\cdot3\cdot45}}{2\cdot3}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$s=\dfrac{24\pm\sqrt{576-540}}{6}$

Some os valores e calcule o radical

$s=\dfrac{24\pm\sqrt{36}}{6}\\\\\\ s=\dfrac{24\pm6}{6}$

Separe e calcule as soluções

$s=\dfrac{24-6}{6}~~~\mathsf{ou}~~~s=\dfrac{24+6}{6}\Rightarrow\\\\\\ s=\dfrac{18}{6}~~~\mathsf{ou}~~~s=\dfrac{30}{6}\Rightarrow\\\\\\ s=3~~~\mathsf{ou}~~~s=5$

Estes são os pontos críticos da função. Agora, devemos calcular a sua derivada segunda: lembre-se que $(T'(s))'=T''(s)$.

$\dfrac{d}{ds}(T'(s))=\dfrac{d}{ds}(3s^2-24s+45)\\\\\\\ T''(s)=3\cdot2s-24\cdot1+0\\\\\\ T''(s)=6s-24$

Ao substituirmos os pontos críticos calculados anteriormente nesta função, podemos determinar se eles são pontos de máximo ou mínimo locais. Estes valores podem resultar em três casos:

• $f''(a)>0$, a função tem um mínimo local em $x=a$, ponto crítico da função.
• $f''(a)=0$, nada se pode declarar sobre este ponto crítico da função.
• $f''(a)<0$, a função tem um máximo local em $x=a$, ponto crítico da função.

Utilizando $s=3$, teremos:

$T''(3)=6\cdot3-24\\\\\\ T''(3)=18-24\\\\\\ T''(3)=-6$

Como podemos ver, $T''(3)<0$, logo $s=3$ é um ponto de máximo local do gráfico da função.

Utilizando $s=5$, teremos:

$T''(5)=6\cdot5-24\\\\\\ T''(5)=30-24\\\\\\ T''(5)=6$

Como podemos ver, $T''(5)>0$, logo $s=5$ é um ponto de mínimo local do gráfico da função.

Os intervalos de crescimento e decrescimento podem ser definidos em quatro casos possíveis:

• Os pontos que antecedem um ponto de mínimo local determinam um intervalo de decrescimento da função. Os pontos que procedem um ponto de mínimo local determinam um intervalo de crescimento da função.
• Os pontos que antecedem um ponto de máximo local determinam um intervalo de crescimento da função. Os pontos que procedem um máximo local determinam um intervalo de decrescimento da função.
• Os pontos contidos entre um ponto de mínimo e máximo locais, respectivamente, determinam um intervalo de crescimento da função.
• Os pontos contidos entre dois pontos de máximo e mínimo locais, respectivamente, determinam um intervalo de decrescimento da função.

Sabemos que a temperatura foi observada $s$ segundos após o início da reação, em que $s>0$.

Assim, nosso primeiro intervalo, $[0,~3[$ é um intervalo de crescimento, pois antecede um ponto de máximo local.

Nosso segundo intervalo $]3,~5[$ é um intervalo de decrescimento, pois os pontos estão contidos entre um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, respectivamente.

Nosso terceiro intervalo $]5,~\infty]$ é um intervalo de crescimento, pois procedem um ponto de mínimo local da função.

Observe o gráfico da função em anexo: