Question

7- resolva em R a equação sen(x+ᴨ/4)+ cos(x+ᴨ/4)=√2/2

Answer 1

Propriedades que usaremos:
sen²(x) + cos²(x) = 1
2.senx. cos x = sen (2x)

sen(x+ᴨ/4)+ cos(x+ᴨ/4) = √2/2             
 
antes, para facilitar vamos fazer uma mudança de variável:
y = x + ᴨ/4

sen y + cos y = √2/2
Eleve ambos os lados ao quadrado:
(sen y + cos y)² = (√2/2)²
sen²y + 2.seny.cosy + cos²y = 2/4          arrumando de forma conveniente: 
sen²y + cos²y + 2.seny.cosy = 0,5
1 + sen (2y) = 0,5
sen (2y) = 0,5 - 1
sen (2y) = - 0,5                

Agora analisando a tabela trigonométrica, temos que seno (π/6) = 0,5 e que o seno é negativo no terceiro e no quarto quadrante, então, convertendo esse ângulo para eles:

Considere α sendo o ângulo em questão:

p/ 3º quadrante:
α = π + α 
α= π + π/6
α = 6π/6 + π/6
α = 7π/6

2y = 7π/6                dividindo ambos os lados por 2:
y = 7π/12

p/ 4º quadrante:
α = 2π - α 
α= 2π - π/6 
α = 12π/6 - π/6
α = 11π/6

2y = 11π/6             dividindo ambos os lados por 2:
y = 11π/12

Logo  y1 = 7π/12 e y2 = 11π/12

Agora vamos achar os valores de x:
y =  x + ᴨ/4

p/y = 7π/12
7π/12 = x + π/4
x = 7π/12 - π/4                    mmc = 12
x = 7π/12 - 3π/12
x = 4π/12      simplifica por 4:
x = π/3

p/y = 11π/12
11π/12 = x + π/4
x = 11π/12 - π/4                    mmc = 12
x = 11π/12 - 3π/12
x = 8π/12      simplifica por 4:
x = 2π/3

Bons estudos