Question

7. Insira doze meios geométricos entre 4 e 32768. Use a fórmula


alguém pode me ajudar?​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de progressão geométrica.

Observe a sequência: $4,~{\underbrace{\cdots,~\cdots,~\cdots,~\cdots}_{12~meios~geom\'etricos},~32768$.

Observe que os dois extremos serão os termos $a_1$ e $a_{14}$, visto que existem 12 números entre eles.

Utilizando a fórmula do termo geral $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, teremos:

$32768=4\cdot q^{14-1}$

Calcule a soma dos valores no expoente

$32768=4\cdot q^{13}$

Divida ambos os lados por 4

$8192=q^{13}$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$q=\sqrt[13]{8192}$

Sabemos que $2^{13}=8192$, logo

$q=\sqrt[13]{2^{13}}$

Pela propriedade de radicais, sabemos que $\sqrt[m]{a^m}=|a|$, temos

$q=2$

Logo, a partir da fórmula comentada acima, temos:

$\begin{cases}a_2=4\cdot2=8\\a_3=4\cdot 2^2=16\\a_4=4\cdot 2^3=32\\ a_5=4\cdot 2^4=64\\ a_6=4\cdot 2^5=128\\ a_7=4\cdot 2^6=256\\ a_8=4\cdot 2^7=512\\a_9=4\cdot 2^8= 1024\\ a_{10}=4\cdot2^9=2048\\ a_{11} = 4\cdot 2^{10}=4096\\ a_{12}=4\cdot 2^{11}=8192\\ a_{13}=4\cdot 2^{12}= 16384\\\end{cases}$

Estes são os 12 meios geométricos. A sequência é:

$\{4,~8,~16,~32,~64,~128,~256,~512,~1024,~2048,~4096,~8192,~16384,~32768\}$