Question

7 — (ENEM-2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende cons- truir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura. A área para o público será cercada com dois tipos de materiais: • nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00; • nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00. A empresa dispõe de R$ 5000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é a) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B. b) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B. c) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B. d) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B. e) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B

Answer 1

Resposta:

 A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é: 125 m da tela tipo A e 500 m da tela tipo B.

Primeiramente, é importante lembrar que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões.

Como o retângulo possui dimensões x e y, então a área é igual a:

A = x.y.

Os lados paralelos ao palco são os de medidas x e o valor do metro é R$20,00.

O metro para os outros dois lados custa R$5,00.

Como a empresa dispõem de R$5000,00 para comprar essas telas, então:

5000 = 20x + 20x + 5y + 5y

5000 = 40x + 10y.

500 = 4x + y

y = 500 - 4x.

Substituindo o valor de y na área:

A = x(500 - 4x)

A = -4x² + 500x.

Queremos que a área seja máxima. Observe que a função acima é do segundo grau. Logo, devemos calcular o x do vértice:

xv = -b/2a

xv = -500/2.(-4)

xv = 62,5.

Ou seja, quando x = 62,5, a área é máxima.

O valor de y é:

y = 500 - 4.62,5

y = 250.

Portanto, a empresa comprará 62,5 + 62,5 = 125 metros da tela do tipo A e 250 + 250 = 500 metros da tela do tipo B.

Espero ter ajudado! :)