Question

7 DIVIDIR O POLINOMIO E(x) = -3X^5 + 12X^4 - X^3 + 5X^2 - 5X + 4 POR 4-X

8- PELO TEOREMA DO RESTO DETERMINE M PARA QUE O RESTO DA DIVISAO DE X^3 + 2MX^2 - 5X POR X - 4 SEJA 2

Answer 1

Questão 7. Dividir o polinômio

$E(x)=-3x^{5}+12x^{4}-x^{3}+5x^{2}-5x+4$

por $D(x)=4-x.$


Vamos tentar fatorar $E(x),$ fazendo com que sempre apareça $(4-x)$ como fator:

$E(x)=(-3x^{5}+12x^{4})-x^{3}+5x^{2}-5x+4\\ \\ E(x)=3x^{4}\,(-x+4)-x^{3}+5x^{2}-5x+4$


Adicionando $+4x^{2}-4x^{2},$ temos

$E(x)=3x^{4}\,(-x+4)-x^{3}+4x^{2}-4x^{2}+5x^{2}-5x+4\\ \\ E(x)=3x^{4}\,(-x+4)+(-x^{3}+4x^{2})+x^{2}-5x+4\\ \\ E(x)=3x^{4}\,(-x+4)+x^{2}\,(-x+4)+x^{2}-5x+4$


Adicionando $-4x+4x,$ temos

$E(x)=3x^{4}\,(-x+4)+x^{2}\,(-x+4)+x^{2}-4x+4x-5x+4\\ \\ E(x)=3x^{4}\,(-x+4)+x^{2}\,(-x+4)+(x^{2}-4x)-x+4\\ \\ E(x)=3x^{4}\,(-x+4)+x^{2}\,(-x+4)-x\,(-x+4)-x+4\\ \\ E(x)=3x^{4}\,(-x+4)+x^{2}\,(-x+4)-x\,(-x+4)+1\,(-x+4)$


Agrupando todos os termos com o fator $(-x+4)$ em comum, chegamos a

$E(x)=(-x+4)\,(3x^{4}+x^{2}-x+1)\\ \\ E(x)=(4-x)\,(\underbrace{3x^{4}+x^{2}-x+1}_{\text{quociente}})+\underbrace{0}_{\text{resto}}$


Então, o quociente da divisão é

$Q(x)=3x^{4}+x^{2}-x+1$


e o resto é

$R(x)=0.$



Questão 8. Temos os seguinte polinômios:

$P(x)=x^{3}+2mx^{2}-5x$

$D(x)=x-4$


Queremos que o resto da divisão de $P(x)$ por $D(x)$ seja $2.$


Teorema do Resto: o resto da divisão do polinômio $P(x)$ por $x-a$ é igual a $P(a):$


Neste caso

$D(x)=x-4\;\;\Rightarrow\;\;a=4$


Então o resto da divisão de $P(x)$ por $(x-4)$ é

$P(4)=4^{3}+2m\cdot 4^{2}-5\cdot 4\\ \\ P(4)=64+32m-20\\ \\ P(4)=44+32m$


Queremos que o resto seja $2.$ Então, devemos ter

$44+32m=2\\ \\ 32m=2-44\\ \\ 32m=-42\\ \\ 16m=-21\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}m=-\dfrac{21}{16} \end{array}}$