Question

7. Determine o domínio das expressões: a) √(x^2-6x+5 ) b) (x+2)/(5x-3) c) √(x-1)/√(x^2-4)

Answer 1

Bem, calcular dominio é se perguntar: "Em qual momento essa expressão vai me complicar? (Aqui é Family Friends)"...

$a) f(x)= \sqrt{x^{2}-6x+5}$,
Aqui temos uma raiz quadrada, e sabemos que não existe raiz de numero negativo. Logo a expressão que está dentro da raiz tem que ser positiva:

 $x^{2}-6x+5 \geq 0 \\ \\ delta= b^{2} -4ac \\ \\ delta = 36 - 4*1*5 = 16 \\ \\ Bhaskara \\ \\ x= \frac{-b+ \sqrt{delta} }{2a} \\ \\ x_{1}=\frac{6+ \sqrt{16} }{2} \\ \\ x_{1}=\frac{6+ 4 }{2} = 5 \\ \\ x_{2} = \frac{-b- \sqrt{delta} }{2a} \\ \\ x_{2} = \frac{6- \sqrt{16} }{2} \\ \\ x_{2} =\frac{6- 4 }{2} = 1 \\ \\ Logo: \\ \\ x_{1}=5 \\ e \\ x_{2}=1$

Mas, como as raizes da expressão do 2º grau são positiva, podemos dizer que ela nunca irá ter um valor negativo, ou seja:
Dom(f(x))={x∈R}

$b) f(x)= \frac{x+2}{5x-3}$,

Fração, classica, colocaram um "x" no denominador pra tu perder tempo calculando o dominio dele, mas na fração o que pode complicar sua vida é o denominador, o numerador pode valer qualquer numero:

Então: (x+2) ⇒ {x∈R}

O denominador temos que fazer o estudo dele, e ele so nao existe quando for zero, porque divisão por zero não existe, então: 

$5x-3 \neq 0 \\ \\ x \neq \frac{3}{5}$,

Logo, o dominio dessa f(x), são todos reais exceto 3 dividido por 5:
Dom(f(x)) = {x∈R | x≠$\frac{3}{5}$}

$c) \frac{ \sqrt{x-1}}{ \sqrt{x^2-4} }$

Fração com raiz quadrada, então encima (numerador) agora, o resultado tem que ser maior ou igual a 0, e embaixo (denominador) o resultado tem que ser maior que 0.

Então, estudo do de cima:

$x-1 \geq 0 \\ \\ x \geq 1$, 

Então o dominio da função do numerador é:

Dom(num)={x∈R | x≥1}

Agora o estudo da de baixo: 

$x^2-4 \ \textgreater \ 0 \\ \\ x^2 \ \textgreater \ 4 \\ \\ x \ \textgreater \ 2 \\ e \\ x\ \textgreater \ -2$

Logo, nesse caso, os numeros entre [-2,2] não fazem parte do dominio do denominador, logo :
Dom(den)= {x∈R | x<-2 e x>2}

Então o dominio da funçao inteira é a junção dos dois dominios:

Dom(num)={x∈R | x≥1} e Dom(den)= {x∈R | x<-2 e x>2}, logo o dominio da função toda é:

Dom(f(x)) = {x∈R | x>2}