Matemática, perguntado por mariadaconceic8282, 5 meses atrás

7)determine o argumento dos seguintes números complexos
a)z=3+3i
b)z=4i

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos afirmar que o argumento de $\bf a)$ é $\bf\theta = 45^{o}$ e de $\bf b)$ é $\bf\theta = 90^{o}$ .

Temos os seguintes números complexos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: z = 3 + 3i \: \: \: \: e \: \: \: z = 4i$

Como sabemos, a sua forma padrão é dada por $\bf z = a + bi$ , onde "a" é a parte real e "b" a parte imaginária. É importante lembrar disto, pois para o cálculo do argumento partimos deste tópico.

Roteiro:

$\begin{cases}1) \: \: m \acute{o}dulo \\ 2) \: \: argumento \\ 3) \: \: \hat{a}ngulo \: atrelado \: ao \: argumento \end{cases}$

Como foi dito no roteiro, vamos iniciar pelo cálculo do módulo, que é basicamente aplicação do Teorema de Pitágoras no plano de Argand-Gauss. Então:

$\: \: \: \: \: \: \: \underbrace{z_{1} = 3 + 3i}_{z= a + bi} \: \: \: e \: \: \: \underbrace{z_{2} =0 + 4i}_{z = a + bi} \\ \\ \rho_{1} = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \: \: \: \: e \: \: \: \rho _{2} = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \rho_{1} = \sqrt{3 {}^{2} + 3 {}^{2} } \: \: \: e \: \: \: \rho_{2} = \sqrt{0 {}^{2} + 4{}^{2} } \\ \rho_{1} = \sqrt{18} \: \: \: \: e \: \: \: \rho_{2} = \sqrt{16 } \\ \rho_{1} = 3\sqrt{2 } \: \: \: e \: \: \: \rho_{2} = 4$

Agora vamos substituir estes módulo na relação do argumento e as partes reais e imaginárias:

$\begin{cases} \cos( \theta) = \frac{a}{\rho_{1} } \\ \sin( \theta) = \frac{b}{\rho_{1}} \end{cases} \: \: \: e \: \: \: \begin{cases} \cos( \theta) = \frac{a}{\rho_{2} } \\ \sin( \theta) = \frac{b}{\rho_{2}} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \cos( \theta) = \frac{3}{3 \sqrt{2} } \\ \sin( \theta) = \frac{3}{3 \sqrt{2} } \end{cases} \: \: \: e \: \: \: \begin{cases} \cos( \theta) = \frac{0}{4 } \\ \sin( \theta) = \frac{4}{4} \end{cases} \\ \\ \begin{cases} \cos( \theta) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin( \theta) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases} \: \: \: e \: \: \: \begin{cases} \cos( \theta) = 0 \\ \sin( \theta) = 1\end{cases}$

Para finalizar, temos que apenas encontrar o ângulo que corresponde a cada par de cosseno e seno obtidos acima.

Se analisarmos bem, podemos ver que para o primeiro par de seno e cosseno, o ângulo correspondente é aquele que faça com que ambos possuam o mesmo valor. Como podemos ver na tabela abaixo, este ângulo é 45°.

$\: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \begin{array}{c |c| c| }& \text{seno} & \text{cosseno} \\ 30 {}^{o}& \frac{1}{2}& \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ 45 {}^{o}& \frac{ \sqrt{2} }{2}& \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ 60 {}^{o} & \frac{ \sqrt{3} }{2}& \frac{ 1 }{2} \end{array}}$

Então o argumento do primeiro número complexo é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{z = 3 + 3i \: \: \to \: \: \theta = 45 {}^{o} }$

Para o outro par vamos fazer a mesma coisa, só que analisando outra tabela, mostrada abaixo:

$\: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \begin{array}{c |c| c| }& \text{seno} & \text{cosseno} \\ 0 {}^{o}& 0& 1\\ \\ 90 {}^{o} & 1& 0 \\ \\ 180{}^{o} & 0& - 1 \\ \\ 270 {}^{o}& - 1&0 \\ \\ 360 {}^{o}&0&1\end{array}}$

Analisando esta tabela, podemos ver que o ângulo que possui o cosseno igual a zero e o seno igual a 1, é o ângulo de 90°. Portanto concluímos que o argumento do segundo número complexo é 90°.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{z = 4i \: \: \: \to \: \: \: \theta = 90 {}^{o} }$