68. (Ufpe) A expressão log(6-x-x^2) assume valores reais apenas para x pertencente a um intervalo de números reais, onde log é o logarítimo decimal. Determine o comprimento deste intervalo.
O gabarito é 05.
Me ajuda!
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Olá!
Eu preciso que você enxergue duas funções, uma f(x) e outra g(x), uma dependente da outra para existir.
Vamos considerar a função f(x) sendo: log(x) = y;
e a função g(x) sendo: - x² - x + 6 = y.
E que a função g(x) está dentro da função f(x), "f( g(x) )" o que resulta em:
y = log(- x² - x + 6)
Para que a função logarítmica exista ela tem que obedecer a 2 restrições importantes:
→ O logaritmando tem que ser um número real positivo;
→ A base tem que ser um numero real positivo e maior que 1.
Observando estas duas condições de existência, a função logarítmica f(x) tem que ter o logaritmando, isto é, a função g(x) maior que zero, y > 0, para que ele possa existir.
Aplicando este raciocínio, então a função g(x) = - x² - x + 6 > 0.
Logo estaremos trabalhando com uma inequação, isto é, trabalhando com intervalos de x para que possamos obter valores de y negativo ou positivo, e não necessariamente um número exato de x.
Aplicando Bhaskara na função g(x), iremos descobrir as raízes das equação:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4 (-1) (6)
Δ = 1 + 24 = 25
x = -b ± √Δ / 2a
x = - (-1) ± √25 / 2 (-1)
x = 1 ± 5 / (-2)
x1 = 1+5 / (-2) = -3
x2 = 1 - 5 / (-2) = 2
Logo, as nossas raízes são -3 e 2.
Se montarmos o gráfico da função g(x), veremos que ela é côncava para baixo. Isto significa que entre as raízes o gráfico terá valores no eixo y positivos. Isto quer dizer que o logaritmo existirá quando os valores de x estiver entre -3 e 2, caso não esteja entre este intervalo a função logaritmo não existe.
Sendo assim, o logaritmo existirá quando: {x ∈ R | -3 < x < 2}.
O comprimento, isto é, a diferença dará entre o último ponto e o primeiro ponto. Em termos matemáticos:
x2 - x1 = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5
Chegamos ao comprimento 5. Faz jus se pulássemos as casas de -3 ao 2, dará 5 casas:
-3 .. -2 .. -1 .. 0 .. 1 .. 2 ← Este é o intervalo.
Espero ter sido bem explicativo e que você possa ter entendido!