Question

65. Calcular K de modo que a reta determinada por A (1,-1,0) e B (K,1,2) seja paralela ao plano $\pi$ x = 1+ 3h, y = 1+2h +t, z = 3 + 3t

Answer 1

Resposta:

$k=3$

Explicação passo a passo:

Vamos chamar a reta que passa por $A$ e $B$ de $\mu$. Considerando uma reta qualquer $\nu$ contida no plano $\pi$, $\mu$ e $\nu$ devem ser paralelas. Para determinar se duas retas são paralelas devemos inicialmente calcular seus vetores diretores.

Temos que $\vec{AB}=(k-1,2,2)$ é o vetor diretor de $\mu$. No caso de $\nu$, devemos obter dois pontos contidos nela. Nesse caso, basta pegarmos dois pontos quaisquer de $\pi$.

Para $h=t=0$, temos o ponto $U(1,1,3)$. Para $h=t=1$, temos o ponto $V(4,4,6)$. Daí tiramos que o vetor diretor de $\nu$ é $\vec{UV}=(3,3,3)$.

Para as retas serem paralelas, deve existir um $\lambda$ para o qual:

$\vec{AB}=\lambda\vec{UV}$

$(k-1,2,2)=\lambda(3,3,3)\iff \lambda=\frac{k-1}{3}=\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$

Daí tiramos que:

$\frac{k-1}{3}=\frac{2}{3}$

$k-1=2$

$k=3$