Question

(60 Pontos) Matrizes - Sejam A = (aij)4x3 e
B = (bij)3x4 duas matrizes reais definidas pela imagem no anexo

Como calcular?

Answer 1

Primeiro precisamos montar as duas matrizes através das informações dadas. Sendo $a_{ij}$ o elemento da matriz A na linha i e coluna j:

$a_{11} = i + j = 1 + 1 = 2 \\ a_{12} = i - j = 1 - 2 = -1 \\ a_{13} = i - j = -2 \\ a_{21} = i + j = 2 + 1 = 3 \\ a_{22} = i + j = 2 + 2 = 4 \\ a_{23} = 2 - 3 = -1 \\ a_{31} = i + j = 3 + 1 = 4 \\ a_{32} = i + j = 3 + 2 = 5 \\ a_{33} = i + j = 3 + 3 = 6 \\ a_{41} = i + j = 4 + 1 = 5 \\ a_{42} = i + j = 4 + 2 = 6 \\ a_{43} = i + j = 4 + 3 = 7$

Perceba que quando o índice i (número da linha) for maior ou igual o índice j (número da coluna), nós somamos esses índices, caso contrário subtraímos. A matriz A será a seguinte:

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&-1&-2\\3&4&-1\\4&5&6\\5&6&7\end{array}\right]$

Agora, precisamos formar a matriz B. Seja $b_{ij}$ o elemento da matriz B na linha i e coluna j:

$b_{11} = 2\cdot 1 +1= 2 + 1 = 3 \\ b_{12} = 2 - 1 = 1 \\ b_{13} = 3 - 1 = 2 \\ b_{14} = 4 - 1 = 3 \\b_{21} = 1 - 1 = 0 \\ b_{22} = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \\ b_{23} = 3 - 1 = 2 \\ b_{24} = 4 - 1 = 3 \\ b_{31} = 1 - 1 = 0 \\ b_{32} = 2 - 1 = 1 \\ b_{33} = 2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \\ b_{34} = 4 - 1 = 3$

Perceba que quando o índice i for igual ao índice j ($b_{11}, b_{22} e b_{33}$), a regra só depende do índice da linha i, que é diferente da regra dos demais termos que só depende do índice da coluna j. A matriz B será:

$B = \left[\begin{array}{cccc}3&1&2&3\\0&5&2&3\\0&1&7&3\end{array}\right]$

A matriz A é uma matriz 4x3, enquanto a matriz B é 3x4. A multiplicação dessas matrizes resultará em uma matriz 4x4. Não precisamos calcular toda a matriz C, item por item, o exercício só quer saber quanto vale o termo $c_{32}$ (terceira linha, segunda coluna.
Para calcularmos esse elemento, pegamos a terceira linha da matriz A e multiplicamos pela segunda coluna da matriz B:

$c_{32} = a_{31}\cdot b_{12} + a_{32} \cdot b_{22} + a_{33} \cdot b_{32} \\ c_{32} = 4 \cdot 1 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 1 = 4 + 25 + 6 = \boxed{35}$

alternativa B
Obs.: Se parar pra pensar, não precisa calcular os 12 elementos para cada matriz, bastava calcular os 3 elementos da linha 3 da matriz A e os 3 elementos da coluna 2 da matriz B.

Answer 2

Primeiro precisamos montar as duas matrizes através das informações dadas. Sendo  o elemento da matriz A na linha i e coluna j

Perceba que quando o índice i (número da linha) for maior ou igual o índice j (número da coluna), nós somamos esses índices, caso contrário subtraímos. A matriz A será a seguinte

Agora, precisamos formar a matriz B. Seja  o elemento da matriz B na linha i e coluna j

Perceba que quando o índice i for igual ao índice j (), a regra só depende do índice da linha i, que é diferente da regra dos demais termos que só depende do índice da coluna j.

A matriz A é uma matriz 4x3, enquanto a matriz B é 3x4. A multiplicação dessas matrizes resultará em uma matriz 4x4. Não precisamos calcular toda a matriz C, item por item, o exercício só quer saber quanto vale o termo  (terceira linha, segunda coluna.

Para calcularmos esse elemento, pegamos a terceira linha da matriz A e multiplicamos pela segunda coluna da matriz B.