Question

6. Um cone circular reto tem raio da base igual a 10 cm
Sabendo que a medida do ângulo central do setor
circular, que representa sua superficie lateral, é igual
a 135°, determine o volume desse cone.
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Answer 1

 Para facilitar eu irei planificar o cone, como você pode ver na primeira imagem.

 Podemos ver que o segmento AB é igual ao comprimento da circunferência da base, então ele irá medir:

S = 2.π.r

S = 2.π.10

S = 20.π cm

 Sabemos que 135° é igual a 3/8 de uma circunferência completa, então o segmento AB é 3/8 do comprimento da circunferência com raio x.

 Então podemos descobrir o valor de x:

$20.\pi=\frac{3.2.\pi.x}{8}\\8.20.\pi=6.\pi.x\\6.x=160\\x=\frac{160}{6}\\x=\frac{80}{3}$

 Agora podemos formar um triângulo retângulo onde o raio da base e a altura do cone são os catetos e a geratriz ( x) do cone é a hipotenusa ( segunda imagem):

( 80/3)² = 10² +h²

h² = 6400/9 -100

h² = 6400-900/9

h² = 5500/9

h = √(5500/9)

h = 10.√55/3

 O volume do cone pode ser dado pela seguinte fórmula:

$V=\frac{A_b.h}{3}$

• $A_b$ = área da base;
• h = altura.

 

 Área do círculo da base:

π.r²

π.10²

100.π cm²

$V=\frac{100.\pi.\frac{10.\sqrt{55}}{3}}{3}\\\\V=\frac{1000.\pi.\sqrt{55}}{9}cm^3$

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