6. Seja uma PA de primeiro termo igual a 1 e razão x. Calcule x nos seguintes casos:
a) A soma dos termos é 176 e o último termo é 31;
b) A razão entre o oitavo termo e o terceiro termo é 4
Soluções para a tarefa
O valor de x em cada caso dessa PA será:
a) x = 3
b) x = - 3
Explicação:
a) A soma dos termos de uma progressão aritmética é dada por:
Sₙ = (a₁ + aₙ)·n
2
O enunciado informa que o primeiro termo é 1, a soma dos termos é 176 e o último termo é 31. Logo: a₁ = 1, Sₙ = 176 e aₙ = 31.
176 = (1 + 31)·n
2
(1 + 31)·n = 2·176
32n = 352
n = 352
32
n = 11
O termo geral da PA é:
aₙ = a₁ + (n - 1)·r
Como a razão dessa PA é x, temos:
31 = 1 + (11 - 1)·x
31 = 1 + 10·x
10x = 31 - 1
10x = 30
x = 30
10
x = 3
Portanto, a razão é 3.
b) O oitavo termo dessa PA será:
aₙ = a₁ + (n - 1)·r
a₈ = 1 + (8 - 1)·x
a₈ = 1 + 7x
O terceiro termo dessa PA será:
aₙ = a₁ + (n - 1)·r
a₃ = 1 + (3 - 1)·x
a₃ = 1 + 2x
A razão entre esses termos é 4. Logo:
a₈ = 4
a₃
1 + 7x = 4
1 + 2x
4·(1 + 2x) = 1 + 7x
4 + 8x = 1 + 7x
8x - 7x = 1 - 4
x = - 3