Question

6. Seja f(x) = x^4 − 4x^3 + 20, x ∈ R. Faca o estudo do sinal das funcoes f'(x) e f'(x).

Answer 1

Seja a função $f(x) = x^4-4x^3+20,x\in\mathbb{R}$.

Fazer o estudo de sinal é encontrar para dados valores de $x$ onde a função $f(x)$ admite valores positivos, negativos ou nulos.

Usando os métodos aprendidos em cálculo diferencial, podemos fazer o estudo de sinal de uma função ao encontrar as derivadas de primeira e segunda ordem de uma função.

Dada uma função $f(x)$, sua derivada primeira $f'(x)$nos dá os pontos de máximos e mínimos.

Já a derivada segunda $f''(x)$ nos dá o ponto de inflexão (ponto onde a função muda de concavidade) nos pontos onde $f' '(x) =0$ e a concavidade da função nos pontos onde $x\neq 0$. (por exemplo $\dfrac{d^2}{dx^2}x^2=2$ portanto x^2 tem concavidade para cima já que $2>0$)

Vamos agora utilizar desses conhecimentos para fazer o estudo dos sinais das funções:

A) $f' (x)$ e

B) $f''(x)$

A) Começamos com a função que foi nos dadas e vamos obter a derivada primeira.

$f(x) = x^4 - 4x^3 + 20$

A derivada primeira da função é obtida pela propriedade da derivada de função polinomial ($ax^n=nax^{n-1}$)

$f'(x) = 4x^3 -12x^2 =4x^2(x-3)$ note que as raízes são os pontos $x=0$ é $x=3$

Agora vamos obter a derivada segunda e derivada terceira para poder ser realizado o estudo de sinal.

A derivada segunda da função é obtida da mesma forma

$f''(x) = 12x^2 - 24x =12x(x-2)$

É depois, a derivada terceira:

$f'''(x) = 24x -24 =24(x-1)$

A derivada segunda nos diz que os pontos de máximo e mínimo da função $f'$ são os pontos $x=0$ é $x=2$

A derivada terceira nos dá que $x=1$ é ponto de inflexão.

Além disso, substituindo os zeros da derivada segunda na derivada terceira teremos:

$f''' (0)=24\times(0-1)=-24$ concavidade para baixo. $x=0$ é maximo

$f'''(2)=24\times(2-1)=24$ concavidade para cima. $x=2$ é mínimo.

Nos resta apenas encontrar onde a função é maior ou menor que zero. Para isto, substitua os valores $x$ de máximos e mínimos na função $f'(x)$.

$f'(x) =4x^2(x-3)$

$f'(0) =4(0)^2(0-3)=0$

$f'(x) =4(2)^2(2-3)=-16$

Lembrando que $x=3$ também é raiz, vemos que a função é negativa em todos os pontos $x<3$ e $x\neq0$.

B) Para o estudo de $f''(x)$, já temos da letra A)

$f''(x) = 12x^2 - 24x =12x(x-2)$

$f'''(x) = 24x -24 =24(x-1)$

E nos resta apenas

$f^{IV} (x) =24$.

As raízes de $f''(x)$ são $x=0$ é $x=2$.

O ponto de máximo/minimo é $x=1$

A concavidade é sempre positiva porque $f^{IV} (x) =24$.

Então podemos fazer o estudo de sinal.

Como a concavidade é sempre positiva, $x=1$ é ponto de mínimo.

Como a função tem duas raízes distintas, então $f(x=1)$ só pode ser menor que zero (do contrário, as raízes não seriam $x= 0$ é $x=2$)

isto conclui o estudo do sinal desta função.