Question

6. Racionalize o denominador das seguin-tes expressões: a) 1/(3 - sqrt(6)) b) 2/(sqrt(5) + sqrt(3)); 11/(2sqrt(3) - 1) d) (2 - sqrt(2))/(3 + sqrt(2)) e) (2 - 2sqrt(2))/(2 - sqrt(2)) f) (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3) + sqrt(2))​

Answer 1

$a) 1/(3 - sqrt(6)) b) 2/(sqrt(5) + sqrt(3)); 11/(2sqrt(3) - 1) d) (2 - sqrt(2))/(3 + sqrt(2)) e) (2 - 2sqrt(2))/(2 - sqrt(2)) f) (sqrt(3) - sqrt(2))/(sqrt(3) + sqrt(2))$

Answer 2

Racionalizando o denominador das expressões, temos:

a) 1/(3-√6) = (3+√6)/3

b) 2/(√5+√3) = √5+√3

c) 11/(2√3 - 1) = 2√3 + 1

d) (2 - √2)/(3 + √2) = (8 - 5√2)/7

e) (2 - 2√2)/(2 - √2) = -√2

f) (√3 - √2)/(√3 + √2) = 5 - 2√6

Frações

Uma fração é definida como a razão entre dois números inteiros, como 2/3, 5/2, etc. Uma fração é utilizada para descrever quantas partes (numerador) de um todo (denominador) existem.

Para responder essa questão, devemos racionalizar os denominadores das frações. Seja uma fração dada por a/(b + c) devemos racionalizar a fração ao multiplicá-la pela fração (b - c)/(b - c):

a) O denominador é 3 - √6, logo, devemos multiplicar a fração por (3+√6)/(3+√6):

1/(3-√6) × (3+√6)/(3+√6) = (3+√6)/(3² - √6²)

1/(3-√6) = (3+√6)/(9 - 6)

1/(3-√6) = (3+√6)/3

b) O denominador é √5 + √3, logo, devemos multiplicar a fração por (√5 - √3)/(√5-√3):

2/(√5+√3) × (√5 - √3)/(√5-√3) = 2(√5-√3)/(√5² - √3²)

2/(√5+√3) = 2(√5+√3)/(5 - 3)

2/(√5+√3) = 2(√5+√3)/2

2/(√5+√3) = √5+√3

c) O denominador é 2√3 - 1, logo, devemos multiplicar a fração por (2√3 + 1)/(2√3 + 1):

11/(2√3 - 1) × (2√3 + 1)/(2√3 + 1) = 11(2√3 + 1)/((2√3)² - 1²)

11/(2√3 - 1) = 11(2√3 + 1)/(12 - 1)

11/(2√3 - 1) = 11(2√3 + 1)/11

11/(2√3 - 1) = 2√3 + 1

d) O denominador é 3 + √2, logo, devemos multiplicar a fração por (3 - √2)/(3 - √2):

(2 - √2)/(3 + √2) × (3 - √2)/(3 - √2) = (2 - √2)(3 - √2)/(3² - √2²)

(2 - √2)/(3 + √2) = (2·3 - 2√2 - 3√2 + √2²)/(9 - 2)

(2 - √2)/(3 + √2) = (6 - 5√2 + 2)/7

(2 - √2)/(3 + √2) = (8 - 5√2)/7

e) O denominador é 2 - √2, logo, devemos multiplicar a fração por (2 + √2)/(2 + √2):

(2 - 2√2)/(2 - √2) × (2 + √2)/(2 + √2) = (2 - 2√2)(2 + √2)/(2² - √2²)

(2 - 2√2)/(2 - √2) = (4 + 2√2 - 4√2 - 4)/(4 - 2)

(2 - 2√2)/(2 - √2) = (-2√2)/2

(2 - 2√2)/(2 - √2) = -√2

f) O denominador é √3 + √2, logo, devemos multiplicar a fração por (√3 - √2)/(√3 - √2):

(√3 - √2)/(√3 + √2) × (√3 - √2)/(√3 - √2) = (√3 - √2)²/(√3² - √2²)

(√3 - √2)/(√3 + √2) = (√3² - 2√3·√2 + √2²)/(3 - 2)

(√3 - √2)/(√3 + √2) = (3 - 2√6 + 2)/1

(√3 - √2)/(√3 + √2) = 5 - 2√6

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