Question

6) Determine um vetor da mesma direção de v = 2 i – j +2k e que: a) tenha norma (módulo) igual a 9; b) seja o versor de v ; RESP: a)w =(6,–3,6) b) u= 1/3(2,–1,2) Quero a respota passo a passo.. como faz

Answer 1

Para que um vetor w tenha a mesma direção de v, basta que w seja múltiplo de v:

$\vec w=t\vec v\\\\\vec w=t(2,-1,2)\\\\ \vec w=(2t,-t,2t),~t\in\mathbb{R}$

Agora que temos a forma geral de w, vamos aos itens.

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a) A norma de um vetor $\vec v=(x,y,z)$ é $||\vec v||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Usando isso, temos:

$||\vec w||=9\\\\ \sqrt{(2t)^2+(-t)^2+(2t)^2}=9\\\\ \sqrt{4t^2+t^2+4t^2}=9\\\\ \sqrt{9t^2}=9\\\\\to\text{Elevando os dois lados ao quadrado:}\\\\ 9t^2=81\\\\ t^2=\dfrac{81}{9}=9\\\\ t=\pm\sqrt9\\\\ t=\pm3$

Assim, temos duas possibilidades para w:

• Para t=3:

$\vec w_1=(2\cdot3,-1\cdot3,2\cdot3)\\\\ \boxed{\vec w_1=(6,-3,6)}$

• Para t=-3:

$\vec w_2=(2\cdot(-3),-1\cdot(-3),2\cdot(-3))\\\\ \boxed{\vec w_2=(-6,3,-6)}$

Caso queira apenas a resposta não só na mesma direção, mas também no mesmo sentido de v, apenas w₁ satisfaz, já que é um múltiplo positivo de v (t=3 > 0).

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b) O versor de um vetor v é dado por: $\vec u=\dfrac{\vec v}{||\vec v||}$. Com essa fórmula, podemos encontrar o vetor pedido:

$\vec u=\dfrac{\vec v}{||\vec v||}\\\\ \vec u=\dfrac{(2,-1,2)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\\\\ \vec u=\dfrac{(2,-1,2)}{\sqrt{4+1+4}}\\\\ \vec u=\dfrac{(2,-1,2)}{\sqrt{9}}\\\\ \vec u=\dfrac{(2,-1,2)}{3}\\\\ \boxed{\vec u=\dfrac{1}{3}(2,-1,2)}$

Answer 2

Resposta:

de onde surgiu o t? poderia explicar