Question

6- De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado para um dos vértices
do prisma desenhado a seguir. O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios
das três arestas que concorrem num mesmo vértice do prisma. Calcule o número de faces e de vértices do poliedro
obtido após terem sido retirados todos os tetraedros.​

Answer 1

Resposta:

F = 20

V = 18

Explicação passo a passo:

Rapaz, vou anexar uma figura, completei as linhas onde seriam os cortes. Daí a gente percebe o seguinte:

- Cada vértice do prisma original vira uma face triangular. Ele tem 6 vértices em cima e embaixo, então fica 6.2 = 12 faces triangulares.

- Cada face lateral do prisma original continua sendo uma face quadrangular. Então são 6 faces quadrangulares.

- No topo e embaixo continuam faces hexagonais, então são 2 faces hexagonais.

Daí já dá pra calcular o total de faces: 12 + 6 + 2 = 20.

A quantidade de vértices dá pra contar olhando pra figura, com um pouco de cuidado dá 18.

Mas podemos confirmar usando o cálculo do total de arestas, ou seja, somando o produto do total de faces pelas suas quantidades de lados (que é a de arestas também) que dará o dobro do total de arestas.

$2.A = 3.F_3 + 4.F_4 + 6.F_6\\\\2.A = 3. 12 + 4.6 + 6.2\\\\A = 36$

E agora a relação de Euler de novo

V + F = A + 2

V + (12 + 6 + 2) = 36 + 2

V = 18