Question

6) Calcular x na igualdade $\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\x&2&x-3\\x^{2} &4&x^{2}-6x+9 \end{array}\right]$ =0

Mostre-me o cálculo, por favor!

Answer 1

Os valores de x na igualdade são 2 ou 5.

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É dada a matriz:

$</p><p> \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 \\</p><p> x & 2 & x-3\\</p><p> x^2 & 4 & x^2 -6x +9</p><p> \end{bmatrix}</p><p>$

Pede-se para calcular o valor de x tal que:

$</p><p> \begin{vmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 \\</p><p> x & 2 & x-3\\</p><p> x^2 & 4 & x^2 -6x +9</p><p> \end{vmatrix}= 0</p><p>$

Note que a matriz dada é uma matriz de Vandermonde, ou das potências, pois os elementos de cada coluna são potências de mesma base com expoente variando de 0 a 2 (ordem da matriz - 1). Veja:

$</p><p> \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 \\</p><p> x & 2 & x-3\\</p><p> x^2 & 4 & x^2 -6x +9</p><p> \end{bmatrix}= </p><p> \begin{bmatrix}</p><p> x^0 & 2^0 & (x-3)^0 \\</p><p> x^1 & 2^1 & (x-3)^1\\</p><p> x^2 & 2^2 & (x-3)^2</p><p> \end{bmatrix}</p><p>$

Os elementos da segunda linha são chamados de elementos característicos da matriz. No caso em questão os elementos característicos são x, 2 e (x-3). É possível demonstrar que o determinante de uma matriz de Vandermonde é dado pelo produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos desde que o minuendo tenha índice maior do que o subtraendo. Ou seja, seja a matriz V a seguir:

$V= </p><p> \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ </p><p> x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\</p><p> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\</p><p> x_1^{n-1}& x_2^{n-1} & x_3^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1} \\ </p><p> \end{bmatrix}</p><p>$

Seu determinante é:

$</p><p> \det V </p><p> = \begin{vmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ </p><p> x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\</p><p> \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\</p><p> x_1^{n-1}& x_2^{n-1} & x_3^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1} \\ </p><p> \end{vmatrix}=</p><p> \displaystyle\prod_{0\leq j < i \leq n} (x_{i} - x_{j})$

Agora vamos resolver a questão dada:

$</p><p> \begin{vmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 \\</p><p> x & 2 & x-3\\</p><p> x^2 & 4 & x^2 -6x +9</p><p> \end{vmatrix}= 0$

Para resolver essa equação temos que calcular o determinante do primeiro membro.

O produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos com a condição que o minuendo tenha índice maior do que o subtraendo é:

$\begin{eqnarray*}</p><p> [(x-3)- 2]\cdot [(x-3) -x] \cdot (2-x) &= &(x-5) \cdot (-3) \cdot (2-x)\\</p><p> & = &-3(x-5)(2-x)\\</p><p> &=& 3(x-5)(x-2)</p><p>\end{eqnarray*}</p><p>$

Não é necessário desenvolver mais a expressão acima, pois, se deixarmos na forma fatorada, quando igualarmos a zero já é possível dizer os valores de x.

Perceba:

Se $3(x-5)(x-2)=0$, então $x=5$ ou $x=2$.

Portanto, os valores de x são 2 ou 5.

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Observações:

• Caso as linhas de uma matriz também possuam essa característica, ela também é chamada matriz de Vandermonde. Segue um exemplo:

$</p><p> \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 3 & 9 \\</p><p> 1 & 4 & 16\\</p><p> 1 & 2 & 4</p><p> \end{bmatrix}</p><p>$

• Para indicar o determinante de uma matriz, deve-se usar uma barra vertical de cada lado. Para fazer sua pergunta, você escreveu

$</p><p> \begin{bmatrix}</p><p> 1 & 1 & 1 \\</p><p> x & 2 & x-3\\</p><p> x^2 & 4 & x^2 -6x +9</p><p> \end{bmatrix}= 0</p><p>$

Porém, colchetes são usados para indicar matrizes e a expressão acima diz que uma matriz é igual a um número, o que não é verdade. Então preste atenção à notação.