Question

(6.12.18. ... .300)÷(2.6.10.14. ... .98) .(4.8.12.16. ... .100)

Answer 1

vamos por partes
(6 .12.18. ... .300) 
todos são multiplos de 6, mas quanto são?
faremos uma pequena p.a:
an =a1 + (n -1).r
300 = 6 + (n - 1).6
300 - 6 = (n - 1).6
294 = (n - 1).6
n - 1 = 294 / 6
n - 1 = 49
n = 49 + 1
n = 50

temos 50 termos
que podem ser colocados assim:
(6.6.6. ... .6).(1.2.3.4.5.6. ... .50)

o próximo é:
(2.6.10.14. ... .98)
mais uma p.a para saber o número de termos. com razão 4
98 = 2 + (n - 1).4

98 - 2 = (n - 1).4
96 = (n - 1).4
n - 1 = 96 / 4
n - 1 = 24
n = 24 + 1
n = 25

25 termos e pode ser escrita:
(2.2.2. ... .2)(1.3.5.7.9.11. ... 49)
dentro do parênteses temos os ímpares até 49

por último:
(4.8.12.16. ... . 100)
temos os multiplos de 4
quantos são?
muito simples são 25
que pode ser escrito;
(4.4.4. ... .4)(1.2.3.4.5.6. ... . 25)

vamos da uma organizada:
(6.6 ....)(1.2.3.4.5.6. ... .50) / (2.2 .... )(1.3.5.7.9.11. ... .49) . (2².2²...)(1.2.3.4.5.6. ... .25)
melhorando:
(6⁵⁰) .(50!) / (2²⁵). (1.3.7.9...49) . (2⁵⁰) . (25!)

agora vamos...

espera aí antes de continuar deixa eu tirar aquele conjunto dos ímpares do meio:
sabemos que 49! = 1.2.3.4.5. ... .48.49
que podemos transformar em:
(1.3.5.7.9. ... .49).(2.4.6.8.10. ... .48)= 49!
(1.3.5.7.9. ... .49) = 49! / (2.4.6.8.10. ... .48)
(1.3.5.7.9. ... .49) = 49! / (2.2.2.2. ... .2).(1.2.3.4. ... . 24)
(1.3.5.7.9. ... .49) = 49! / 2²⁴.24!
pronto substituindo fica

(6⁵⁰) .(50!) / (2²⁵). (1.3.7.9...49) . (2⁵⁰) . (25!)
$\frac{ (3^{50}. 2^{50}).(50!)  }{ (2^{75}).(25!).(49!) / (2 ^{24}) .(24!) }$
como temos uma fração em fração invertemos a fração kkk
$\frac{ (3^{50}. 2^{50}).(50!) .(24!).(2^{24} )}{ (2^{75}).(25!).(49!) }$
pense sempre em uma maneira de simplificar ao máxima usando artificios
$\frac{ (3^{50}. 2^{50}).50.49! .24!.2^{24} }{ 2^{75}.25.24!.49! }$
simplificando fica:
$\frac{ 3^{50}. 2^{50}.50 .2^{24} }{ 2^{75}.25 }$
$\frac{ 3^{50}. 2^{50}.2 ^{1} .2^{24} }{ 2^{75}. }$
$\frac{ 3^{50}. 2^{75} }{ 2^{75} }$
sobrando apenas 
3⁵⁰