Question

57. A razão entre os volumes das esferas circunscrita e
inscrita a um mesmo cubo é:
a) √3
b) 2√3
c) 3√3
d) 4√3/3
e) 3√3/2

Answer 1

Seja $\text{2A}$ a aresta do cubo.

O raio da esfera inscrita é igual a metade da aresta do cubo, ou seja $\text{A}$. Desse modo, o volume dessa esfera é:

$\text{V}_{\text{I}}=\dfrac{4\cdot\pi\cdot\text{A}^3}{3}=\dfrac{4\pi\cdot\text{A}^3}{3}$

Já o raio da esfera circunscrita é igual a metade da diagonal do cubo, isto é $\text{A}\sqrt{3}$. Assim, o volume da esfera circunscrita é:

$\text{V}_{\text{C}}=\dfrac{4\cdot\pi\cdot(\text{A}\sqrt{3})^3}{3}=\dfrac{4\pi\cdot3\sqrt{3}\cdot\text{A}^3}{3}$

Logo, a razão pedida é:

$\dfrac{\text{V}_{\text{C}}}{\text{V}_{\text{I}}}=\dfrac{\dfrac{4\pi\cdot3\sqrt{3}\cdot\text{A}^3}{3}}{\dfrac{4\pi\cdot\text{A}^3}{3}}=\dfrac{4\pi\cdot3\sqrt{3}\cdot\text{A}^3}{3}\cdot\dfrac{3}{4\pi\cdot\text{A}^3}=\dfrac{3\cdot4\pi\cdot\text{A}^3\cdot3\sqrt{3}}{3\cdot4\pi\cdot\text{A}^3}=3\sqrt{3}$

$\text{Letra C}$