Question

51 (UFC - Adaptada) Se x é um número real tal que
x^2 + 1/x^2 =3, então qual o valor de x^4 +1/x^4?
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Answer 1

Resposta:

7

Explicação passo-a-passo:

Esse é um problema que exige uma mudança de variável.

Vamos chamar:

x² + 1/x² = a

Agora, vamos elevar ambos lados ao quadrado, a fim de que apareça x⁴ + 1/x⁴:

(x² + 1/x²)² = a²

Trata-se, portanto, de um produto notável:

• (a + b)² = a² + b² + 2ab

Aplicando:

(x²)² + (1/x²)² + 2 × x² × 1/x² = a²

x⁴ + 1/x⁴ + 2 = a²

x⁴ + 1/x⁴ = a² - 2

Mas espera! Quando vale a²?

Bom, lembra que:

x² + 1/x² = 3

Como:

x² + 1/x² = a

Então:

a = 3

Logo, a² = 3² = 3 × 3 = 9

Substituindo:

x⁴ + 1/x⁴ = 9 - 2

• x⁴ + 1/x⁴ = 7