Question

(50 PONTOS) Racha-cuca de Teoria dos Números.
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Problema: Mostrar que, para todo $\mathsf{n\in\mathbb{N}^{*},}$

$\mathsf{(9n-1)\cdot 10^{n+1} \equiv 71~~(mod~81)}$

______________

Nota para aqueles que não estão acostumados com a notação acima (que usa congruência):

O que esta tarefa propõe é mostrar que, dado qualquer natural positivo $\mathsf{n,}$ ao efetuar-se a divisão de

$\mathsf{(9n-1)\cdot 10^{n+1}}$

por $\mathsf{81,}$ o resto desta divisão sempre será $\mathsf{71}.$

Answer 1

 Olá Lukyo!
 
 Da definição de congruência linear, tiramos que: $\mathsf{(9n - 1) \cdot 10^{n + 1} - 71}$ é múltiplo de 81. Isto é, $\mathsf{81 | [(9n - 1) \cdot 10^{n + 1} - 71]}$.

 
 Com efeito, devemos mostrar que $\mathsf{\exists q \in \mathbb{Z} \ tal \ que \ (9n - 1) \cdot 10^{n + 1} - 71 = 81 \cdot q, \ \forall n \in \mathbb{N^{\ast}}}$.

 
 Isto posto, mostramos isso fazendo uma indução em "n". Inicialmente, verificamos se $\mathsf{q \in \mathbb{Z}}$ quando $\mathsf{n = 1}$ (elemento mínimo). Se verdadeiro, então supomos que é verdadeiro também $\mathsf{\forall \ k \in \mathbb{N^{\ast}}}$. Daí, pelo Princípio da Indução Finita (1ª parte), é verdadeiro para $\mathsf{n = k + 1}$.


$\mathsf{\bullet \ Quando \ \underline{\mathsf{n = 1}}:}$

$\\ \mathsf{(9n - 1) \cdot 10^{n + 1} \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9 - 1) \cdot 10^2 \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{800 \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \mathsf{\Downarrow} \\\\ \mathsf{800 - 71 = 81 \cdot q, \ q \in \mathbb{Z} \qquad (true)}$


$\mathsf{\bullet \ Quando \ \underline{\mathsf{n = k}}:}$  

$\\ \mathsf{(9n - 1) \cdot 10^{n + 1} \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \mathsf{\Downarrow} \\\\ \mathsf{81 | [(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} - 71] \qquad (hip\acute{o}tese)}$
 
 Ou seja, $\mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} - 71 = 81 \cdot q', \ em \ que \ q' \in \mathbb{Z}}$.
 

  Como já foi dito, segundo o PIF (1ª parte), a igualdade também será verdadeira (existirá um inteiro q'') para n = k + 1 (tese).

$\mathsf{\bullet \ Quando \ \underline{\mathsf{n = k + 1}}}$:

$\\ \mathsf{(9n - 1) \cdot 10^{n + 1} \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k + 9 - 1) \cdot 10^{k + 1 + 1} \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{[(9k - 1) + 9] \cdot 10^{k + 1} \cdot 10^1 \equiv 71 \ (mod \ 81)}$

$\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^{k + 1} \cdot 10^1 \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{\left [(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} \cdot (1 + 9) \right ] + 9 \cdot 10^{k + 1} \cdot 10 \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{\left [(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} \cdot 1 + (9k - 1) \cdot 10^{k + 1} \cdot 9 \right ] + 9 \cdot 10 \cdot 10^{k + 1} \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + \left [ (9k - 1) \cdot 10^{k + 1} \cdot 9 + 9 \cdot 10 \cdot 10^{k + 1} \right ] \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 9 \cdot 10^{k + 1} \cdot \left [ (9k - 1) + 10 \right ] \equiv 71 \ (mod \ 81)}$

$\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 9 \cdot 10^{k + 1} \cdot \left ( 9k + 9 \right ) \equiv 71 \ (mod \ 81)}\\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 9 \cdot 10^{k + 1} \cdot \left 9 \cdot (k + 1 \right ) \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 81 \cdot 10^{k + 1} \cdot (k + 1) \equiv 71 \ (mod \ 81)} \\\\ \mathsf{\Downarrow} \\\\ \mathsf{81 | \left [ (9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 81 \cdot 10^{k + 1} \cdot (k + 1) - 71 \right ]}$
 
 
 Ou seja, $\mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 81 \cdot 10^{k + 1} \cdot (k + 1) - 71 = 81 \cdot q'', \ onde \ q'' \in \mathbb{Z}}$.
 

 Segue,

$\\ \mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} + 81 \cdot 10^{k + 1} \cdot (k + 1) - 71 = 81 \cdot q''} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{(9k - 1) \cdot 10^{k + 1} - 71}}_{hip\acute{o}tese} + 81 \cdot 10^{k + 1} \cdot (k + 1) = 81 \cdot q''} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{81 \cdot q' + 81 \cdot 10^{k + 1} \cdot (k + 1) = 81 \cdot q''}$

$\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{81 \cdot \left [ q' + 10^{k + 1} \cdot (k + 1) \right ] = 81 \cdot q''}$

 
 Tome $\mathsf{q' + 10^{k + 1} \cdot (k + 1) = q''}$. Desse modo, provamos que a tese é verdadeira, pois $\mathsf{q'' \in \mathbb{Z}}$.
 
 Como queríamos demostrar!