Question

[50 PONTOS]

Prove a seguinte identidade trigonométrica:

cotg α + sen α / (1 + cos α) = cossec α

Answer 1

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Partimos do lado esquerdo:
 
     $\mathsf{cotg\,\alpha+\dfrac{sen\,\alpha}{1+cos\,\alpha}\qquad\quad com~~cos\,\alpha\ne -1}$


Usando a definição de cotangente,

     $\mathsf{=\dfrac{cos\,\alpha}{sen\,\alpha}+\dfrac{sen\,\alpha}{1+cos\,\alpha}}$


Reduza as frações ao mesmo denominador:

     $\mathsf{=\dfrac{cos\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}{sen\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}+\dfrac{sen\,\alpha\cdot sen\,\alpha}{sen\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{cos\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)+sen^2\,\alpha}{sen\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{cos\,\alpha+cos^2\,\alpha+sen^2\,\alpha}{sen\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}\qquad\quad mas~~cos^2\alpha+sen^2\,\alpha=1}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{cos\,\alpha+1}{sen\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}}\\\\\\ \mathsf{=\dfrac{1+cos\,\alpha}{sen\,\alpha\cdot (1+cos\,\alpha)}}$


Simplifique o fator comum  1 + cos α  no numerador e no denominador:

     $\mathsf{=\dfrac{1}{sen\,\alpha}}\\\\\\ \mathsf{=cossec\,\alpha\qquad\quad \checkmark}$


como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)