Matemática, perguntado por Lukyo, 1 ano atrás

(50 PONTOS) Por favor, preciso de ajuda.
Dada a sequência numérica
a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n},\;\;\;n\geq 1
como mostrar que esta sequência é crescente? Ou seja, como verificar que
a_{n+1}\geq a_{n}
para todo n natural maior ou igual que 1?


danielfalves: Por séries deve ser o melhor caminho
Lukyo: Quero resolver sem ter de recorrer à função de variável contínua f(x)=(1+1/x)^x
Lukyo: Porque aí, era só derivar e ver que a derivada é positiva, e a função é crescente...
Queria uma outra forma de resolver..
albertrieben: obs.  lim n-->∞ = e
Lukyo: A observação de que o limite é o número e só me garante que a sequência é convergente.. Mas eu quero provar que ela é crescente, ou seja, que o próximo termo é sempre maior que o anterior...
albertrieben: era só uma informação !
Lukyo: Entendi, obrigado!

Soluções para a tarefa

Respondido por carlosmath
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1) Note que

            \displaystyle
\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{n^k}\\ \\ \\
\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}

2) También...
          \displaystyle
\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}\geq \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}\\ \\ \\

3) comparemos términos

         \displaystyle
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{n^k}\sim \dfrac{n!}{n^k\cdot k!\cdot(n-k)!}\\ \\ \\
\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}\sim \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^k\cdot k!\cdot(n+1-k)!}

Quedándonos con lo que nos interesa, o sea quitando términos comunes

         \displaystyle
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\cdot \dfrac{1}{n^k}\sim \dfrac{1}{n^k}\\ \\ \\
\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}\cdot \dfrac{1}{(n+1)^k}\sim \dfrac{n+1}{(n+1)^k\cdot(n+1-k)}\\ \\ \\
\\.


4) ahora comparemos estos dos términos 

           \dfrac{1}{n^k} \;\square\; \dfrac{n+1}{(n+1)^k\cdot(n+1-k)}

donde \square \in\{\ \textless \ ,\ \textgreater \ ,=,\geq,\leq\}

Prosigamos

         \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^k \;\square\; \dfrac{n+1}{n+1-k}\\ \\ \\
\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k \;\square\; 1+\dfrac{k}{n+1-k}

5) Luego veamos esta diferencia

          \Delta=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k - \left(1+\dfrac{k}{n+1-k}\right)\\ \\ \\
\Delta=\left(1+\dfrac{1}{n}\right) - \left(1+\dfrac{k}{n+1-k}\right)

          \Delta=\dfrac{1}{n}-\dfrac{k}{n+1-k}

Además note que 1\leq k\leq n, por ello

           -n\leq -k\leq -1\\ \\
1-n\leq 1-k\leq 0\\ \\
1\leq n+1-k\leq n\\ \\
\dfrac{1}{n}\leq \dfrac{1}{n+1-k}\leq 1\Longrightarrow \boxed{\Delta \leq 0}
\\ \\.

6) del inciso (5) tenemos

          \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k - \left(1+\dfrac{k}{n+1-k}\right)\leq 0\\ \\ \\
\boxed{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k\leq 1+\dfrac{k}{n+1-k}}

7) así \square es \leq

Por ende

           \boxed{\boxed{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\leq\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}}

para todo n\in \mathbb N


Lukyo: Lembro sim, mas não desta identidade.
Lukyo: Agora entendi, o que você fez foi desenvolver o binômio (1+1/n)^n...
Lukyo: Desculpe, está tudo tranquilo. Obrigado! :-D
Lukyo: Poderia explicar o passo (3), por que houve cancelamentos? E de onde vem a comparação em (4)?
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