Question

(50 PONTOS) Obter uma fórmula fechada para a soma dos senos dos naturais ímpares:
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}{\mathrm{sen}(2n+1)}=\mathrm{sen}(1)+\mathrm{sen}(3)+\ldots+\mathrm{sen}(2k+1)$
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Resposta (possível): $-\frac{1}{2}\,\mathrm{cossec}(1)\cdot \left[\cos(2k+2)-1 \right ]$

Answer 1

Hola Lukyo

Necesitaremos de la siguiente identidad

       $\boxed{\cos A-\cos B=-2\sin \left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin \left(\dfrac{A-B}{2}\right)}$

Para luego centrarnos en la siguiente sumatoria

                     $\displaystyle \sum_{n=0}^k\cos (2n)$

Apliquemos la ley telescópica

            $\displaystyle \sum_{n=0}^k\cos(2n+2)-\cos(2n)=\cos(2k+2)-1\\ \\ \\ \sum_{n=0}^k-2\sin(2n+1)\sin(1)=\cos(2k+2)-1\\ \\ \\ -2\sin(1)\sum_{n=0}^k\sin(2n+1)=\cos(2k+2)-1\\ \\ \\ \boxed{\sum_{n=0}^k\sin(2n+1)=-\dfrac{1}{2}\csc(1)\cdot [\cos(2k+2)-1]}$