Question

(50 PONTOS) Obter uma fórmula fechada para a seguinte soma:
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k}\mathrm{arctg}\left(\dfrac{1}{1+(n+1)\cdot n} \right )$
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Resposta: $\mathrm{arctg}(k+1)$

Answer 1

Olá

Recordemos la ley telescópica

              $\displaystyle \sum_{n=0}^kf(n+1)-f(n)=f(k+1)-f(0)$

En este caso nos servirá $f(n)=\arctan (n)$, entonces se tiene

          $\displaystyle \sum_{n=0}^k \arctan(n+1)-\arctan(n)=\arctan(k+1)-\arctan(0)$

[hincapié]
        $x=\arctan(n+1)-\arctan(n)\\ \\ \tan x=\dfrac{n+1-n}{1+(n+1)n}=\dfrac{1}{1+(n+1)n}$
[sigamos]                  


            $\displaystyle \boxed{\sum_{n=0}^k \arctan\left[\dfrac{1}{1+(n+1)n}\right]=\arctan(k+1)}$