Question

Resolva a EDO:

(y^2)/(2xy + 3) = dy/dx

Answer 1

$\bullet\;\;$ Primeiro, vamos colocar a equação acima na forma

$\mathbb{P}(x,\,y)\,dx+\mathbb{Q}(x,\,y)\,dy=0$

com $\mathbb{P}$ e $\mathbb{Q}$ sendo funções de duas variáveis $x$ e $y:$


$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^{2}}{2xy+3}\\ \\ \\ y^{2}\,dx=(2xy+3)\,dy\\ \\ y^{2}\,dx+(-2xy-3)\,dy=0$


Na equação acima, temos

$\mathbb{P}(x,\,y)=y^{2}\;\text{ e }\;\mathbb{Q}(x,\,y)=-2xy-3$


$\bullet\;\;$ Calculemos agora a componente do rotacional do campo $(\mathbb{P},\,\mathbb{Q}):$

$\mathrm{rot}(\mathbb{P},\,\mathbb{Q})\cdot \vec{\mathbf{k}}=\dfrac{\partial \mathbb{Q}}{\partial x}-\dfrac{\partial \mathbb{P}}{\partial y}\\ \\ \\ \mathrm{rot}(\mathbb{P},\,\mathbb{Q})\cdot \vec{\mathbf{k}}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-2xy-3)-\dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})\\ \\ \\ \mathrm{rot}(\mathbb{P},\,\mathbb{Q})\cdot \vec{\mathbf{k}}=-2y-2y=-4y\neq0$


O resultado acima é diferente de zero, logo a equação diferencial em questão não é uma equação exata.


$\bullet\;\;$ Vamos em busca de um fator integrante que só depende de $y:$

$\mu(y)=e^{\,\displaystyle\int{\frac{\frac{\partial \mathbb{Q}}{\partial x}-\frac{\partial \mathbb{P}}{\partial y}}{\mathbb{P}}\,dy}}\\ \\ \\ \mu(y)=e^{\,\displaystyle\int{-\frac{4y}{y^{2}}\,dy}}\\ \\ \\ \mu(y)=e^{\,\displaystyle\int{-\frac{4}{y}\,dy}}\\ \\ \\ \mu(y)=e^{-4\,\mathrm{\ell n}(y)}\\ \\ \mu(y)=y^{-4}$


Multiplicando os dois lados da equação diferencial por $\mu(y)=y^{-4},$ temos

$y^{-2}\,dx+(-2xy^{-3}-3y^{-4})\,dy=0$


Fazendo

$\overset{\sim}{\mathbb{P}}(x,\,y)=y^{-2}\;\;\text{ e }\;\;\overset{\sim}{\mathbb{Q}}(x,\,y)=-2xy^{-3}-3y^{-4},$

calculemos agora a componente do rotacional do campo $(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}}):$

$\mathrm{rot}(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}})\cdot \vec{\mathbf{k}}=\dfrac{\partial \overset{\sim}{\mathbb{Q}}}{\partial x}-\dfrac{\partial \overset{\sim}{\mathbb{P}}}{\partial y}\\ \\ \\ \mathrm{rot}(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}})\cdot \vec{\mathbf{k}}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-2xy^{-3}-3y^{-4})-\dfrac{\partial}{\partial y}(y^{-2})\\ \\ \\ \mathrm{rot}(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}})\cdot \vec{\mathbf{k}}=-2y^{-3}-(-2y^{-3})=0$


Após multiplicar pelo fator integrante, a equação se tornou exata.


$\bullet\;\;$ Seja $\varphi(x,\,y)$ uma função potencial para o campo $(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}}),$ ou seja,

$\nabla\varphi(x,\,y)=(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}})\\ \\ \nabla\varphi(x,\,y)=(y^{-2},\;-2xy^{-3}-3y^{-4})$


Separando as coordenadas do vetor gradiente, devemos ter

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}(x,\,y)=y^{-2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(x,\,y)=-2xy^{-3}-3y^{-4}\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Primitivando $\mathbf{(i)}$ em relação a $x,$ temos

$\varphi(x,\,y)=xy^{-2}+g(y)\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$

sendo $g$ uma função que só depende de $y.$


Derivando $\mathbf{(iii)}$ em relação a $y,$ e comparando com $\mathbf{(ii)},$ temos

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(x,\,y)=-2xy^{-3}+g'(y)=-2xy^{-3}-3y^{-4}$


Sendo assim, concluimos que

$g'(y)=-3y^{-4}\;\;\Rightarrow\;\;g(y)=y^{-3}$


Então, uma a função potencial para o campo $(\overset{\sim}{\mathbb{P}},\,\overset{\sim}{\mathbb{Q}})$ é

$\varphi(x,\,y)=xy^{-2}+y^{-3}$


$\bullet\;\;$ A solução geral para a equação exata é

$\varphi(x,\,y)=C\\ \\ xy^{-2}+y^{-3}=C\\ \\ \dfrac{x}{y^{2}}+\dfrac{1}{y^{3}}=C\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\dfrac{xy+1}{y^{3}}=C,\;\;\;C\in\mathbb{R} \end{array}}$


E a função nula também é solução para esta equação diferencial dada:

$\boxed{\begin{array}{c}y=0 \end{array}}$