Question

(50 PONTOS) (OBM - Adaptada) A função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfaz a condição

$f\big(x+f(y)\big)=x+f\big(f(y)\big)$

para todo $x,\,y\in\mathbb{R}.$

Sabendo que $f(2)=8\,,$ mostre que a lei que define a função $f$ é

$f(t)=t+6$

para todo $t\in\mathbb{R}.$
$~$

Answer 1

 Dadas as condições do enunciado, podemos considerar $f(y) = 2$. Pois sabemos que $f(2) = 8$; desse modo $f(f(y)) = f(2) = 8$.

 Segue,

$\\ f(x + f(y)) = x + f(f(y)) \\ f(x + 2) = x + f(2) \\ f(x + 2) = x + 8$

 Por fim, considere $x + 2 = t$ onde $t \in \mathbb{R}$. Daí,

$\\ f(x + 2) = x + 8 \\ f(t) = (t - 2) + 8 \\ \boxed{\boxed{f(t) = t + 6}}$

CQD

Answer 2

Comparando f(x+f(y))=x+f(f(y)) com f(2) =8 podemos dizer que:
x+f(f(y)) =8  e x+f(y) = 2  e subtraindo membro a membro temos:
[ x+f(f(y))]  -  [ x+f(y)] = 8 - 2 ou  f(fy)) -f(y) = 6  fazendo  f(y) = t 
temos f(t) - t = 6  ou  f(t)= 6+t