Question

(50 PONTOS) Encontrar uma primitiva para a função $f(x)=\sec x$

$\displaystyle\int{\sec x\,dx}$

sem utilizar o artifício de multiplicar e dividir por $(\sec x+\mathrm{tg\,}x).$

Answer 1

Olá Lukyo, desculpe pela digitalização que não está tão boa.

Answer 2

$\displaystyle\sf{\int sec(x)~dx=\int\dfrac{cos(x)}{(1-sen^2(x)}~dx}$  

faça $\sf{t=sen(x)\implies dt=cos(x)~dx}$  

$\displaystyle\sf{\int\dfrac{cos(x)}{1-sen^2(x)}~dx=\int\dfrac{dt}{1-t^2}}$  

$\sf{\dfrac{1}{1-t^2}=\dfrac{1}{(1-t)(1+t)}=\dfrac{A}{1-t}+\dfrac{B}{1+t}}$    

$\sf{A=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}}\\\sf{B=\dfrac{1}{1-(-1)}=\dfrac{1}{2}}$  

$\displaystyle\sf{\int\dfrac{dt}{1-t^2}=-\dfrac{1}{2}\ell n|t-1|+\dfrac{1}{2}\ell n|1+t|+k}$  

$\displaystyle\sf{\int\dfrac{dt}{1-t^2}=\huge\ell n|\dfrac{1+t}{1-t}|^{\frac{1}{2}}+k}$  

$\boxed{\displaystyle\sf{\int sec(x)~dx=\large\ell n\left|\dfrac{1+sen(x)}{1-sen(x)}\right|^{\frac{1}{2}}+k}}$