Question

(50 PONTOS) Definindo o operador primeira diferença da sequência $a_{n}$ como

$\Delta(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\,,\;\;\;\;n\in\mathbb{N}$


considere a seguinte equação a diferenças:

$\Delta(a_{n})+p_{n}\cdot a_{n}=0\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


com $n\geq n_{0}\in\mathbb{N},$

$p_{n}$ é uma sequência conhecida definida para $n\geq n_{0},$

e deseja-se encontrar $a_{n}$ que satisfaça a equação $\mathbf{(i)}.$


a) Verifique que se $a_{n}$ for dada por

$a_{n}=C\cdot (1-p_{n_{0}})(1-p_{n_{0}+1})(1-p_{n_{0}+2})\cdot \ldots\cdot (1-p_{n-2})(1-p_{n-1})\\ \\ =C\cdot \displaystyle\prod\limits_{j=n_{0}}^{n-1}{(1-p_{j})}\,,\;\;\;\;C\in \mathbb{R}$


então $a_{n}$ é solução para a equação $\mathbf{(i)}.$ Não precisa verificar o caso trivial em que $C=0.$


b) Com base no resultado acima, obtenha solução para as seguintes equações a diferenças. Considere $n\geq 0:$

$\bullet\;\;\Delta(a_{n})=k\cdot a_{n},\;\;\;k\in\mathbb{R}\\ \\ \bullet\;\;\Delta(a_{n})=n\cdot a_{n}$

Answer 1

1) supongamos que $n=n_0+(m-1)$ donde $m\in \mathbb N$ es fijo, entonces podemos hacer lo siguiente

       $a_{n+1}=a_n(1-p_n)\Longleftrightarrow a_{n_0+m}=a_{n_0+m-1}(1-p_{n_0+m-1})$

1.1) Luego

       $a_{n_0+1}=a_{n_0}(1-p_{n_0})\\ \\ a_{n_0+2}=a_{n_0+1}(1-p_{n_0+1})=a_{n_0}(1-p_{n_0})(1-p_{n_0+1})\\ \\ a_{n_0+3}=a_{n_0+2}(1-p_{n_0+2})=a_{n_0}(1-p_{n_0})(1-p_{n_0+1})(1-p_{n_0+2})\\ \\ \cdots \\ \\ \boxed{a_{n_0+m}=a_{n_0}(1-p_{n_0})(1-p_{n_0+1})(1-p_{n_0+2})\cdots (1-p_{n_0+m-1})}$

Es decir

      $a_{n_0+m-1}=a_{n_0}(1-p_{n_0})(1-p_{n_0+1})(1-p_{n_0+2})\cdots (1-p_{n_0+m-2})\\ \\ \\ \boxed{\boxed{a_{n}=a_{n_0}(1-p_{n_0})(1-p_{n_0+1})(1-p_{n_0+2})\cdots (1-p_{n-1})}}$

=================================
$\displaystyle \bullet\; a_n=a_{n_0}\prod_{j=n_0}^{n_0+m-2}(1+k)\\ \\ \hspace*{4cm} a_n=a_{n_0}(1+k)^{m-1}\\ \\ \hspace*{3.7cm}\boxed{a_n=a_{0}(1+k)^{n}}\\ \\ \\ \bullet\; a_n=a_{n_0}\prod_{j=n_0}^{n_0+m-2}(1+j)\\ \\ \\ \hspace*{3.7cm}\boxed{a_n=a_{n_0}\times\dfrac{(m-1+n_0)!}{(n_0)!}}$

O también

                        $\boxed{\boxed{a_n=na_0}}$