Question

Calcule f´(p), pela definição, sendo dados
f(x)=√x e p=3

f(x)=1/x^2 e p=2

Answer 1

Definição: Seja $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função, $I\subset D$ um intervalo aberto e $p \in I.$

Dizemos que $f$ é derivável em $p,$ se o limite

$\underset{x\to p}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

existir e for finito.


Nessas condições, dizemos que o limite $\mathbf{(i)}$ é a derivada de $f$ em $p,$ e é denotado por $f'(p).$


a) $f(x)=\sqrt{x}\;\;\text{ e }\;\;p=3:$

$f'(3)=\underset{x\to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}\\ \\ \\ f'(3)=\underset{x\to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}$


Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado $(\sqrt{x}+\sqrt{3}):$

$f'(3)=\underset{x\to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{3})}{(x-3)\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{3})}\\ \\ \\ f'(3)=\underset{x\to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(\sqrt{x})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{(x-3)\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{3})}\\ \\ \\ f'(3)=\underset{x\to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x-3}{(x-3)\cdot (\sqrt{x}+\sqrt{3})}$


Cancelando o fator comum $(x-3)$ no numerador e no denominador,

$f'(3)=\underset{x\to 3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}\\ \\ \\ f'(3)=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}f'(3)=\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \end{array}}$


b) $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\;\;\text{ e }\;\;p=2:$

$f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\\ \\ \\ f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{2^{2}}}{x-2}\\ \\ \\ f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4}}{x-2}$


Multiplicando o numerador e o denominador por $4x^{2},$

$f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{4x^{2}\cdot (\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4})}{4x^{2}\cdot (x-2)}\\ \\ \\ f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{\frac{4x^{2}}{x^{2}}-\frac{4x^{2}}{4}}{4x^{2}\cdot (x-2)}\\ \\ \\ f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{4-x^{2}}{4x^{2}\cdot (x-2)}\\ \\ \\ f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{(2+x)\cdot (2-x)}{4x^{2}\cdot (x-2)}\\ \\ \\ f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-(2+x)\cdot (x-2)}{4x^{2}\cdot (x-2)}$


Cancelando o fator comum $(x-2)$ no numerador e no denominador,

$f'(2)=\underset{x\to 2}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{-(2+x)}{4x^{2}}\\ \\ \\ f'(2)=\dfrac{-(2+2)}{4\cdot 2^{2}}\\ \\ \\ f'(2)=\dfrac{-\diagup\!\!\!\! 4}{4\cdot \diagup\!\!\!\! 4}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}f'(2)=-\dfrac{1}{4} \end{array}}$