Question

5^(x)< -1 qual seria a resposta? f(x) nao seria sempre positiva?

Answer 1

Primeiramente, se não formos considerar números complexos, não há solução nos reais. Mas, se formos:

Vamos escrever x como A + Bi, sendo A e B reais.

$5^x<-1\\5^{A+Bi}<-1\\5^A \cdot 5^{Bi} < -1$

Pela equação de Euler, $e^{ix} = \cos x + i \sin x$

Vamos escrever $5^{Bi}$ nesse formato.

$5^{Bi} = e^{\log 5 ^{Bi}} = e^{Bi} \log 5 = \cos(B \log 5) + i \sin (B \log 5)$

Dentro da inequação, é necessário que $5^{Bi}$ seja um número real, porque uma inequação não é bem definida entre reais e complexos.

Para que isso aconteça, a parte imaginária (que multiplica o i), precisa ser zero.

$(I) \ \sin (B \log 5) = 0$

Vou guardar esse resultado.

Agora, vejamos o seguinte: dado que a parte imaginária é zero, sobra, na inequação:

$5^A \cos (B \ln 5) < -1$

Vou tentar passar B ln 5 para o outro lado, mas temos que lembrar que, se ele for negativo, devemos inverter o sinal. Então, vou supor que ele é positivo e não inverterei.

$5^A < \dfrac{-1}{cos(B \ln 5)}$

Já que o cosseno é positivo, o lado direito da inequação será negativo. Mas isso é um absurdo, porque 5 elevado a A é sempre positivo. Ou seja, a suposição estava errada, logo esse cosseno é negativo. Aliando isso ao resultado (I), temos:

$(I) \ \sin (B \log 5) = 0\\(II) \ cos(B \log 5) < 0$

(I) implica que B log 5 = n * pi, com n inteiro.

Já (II) implica que n deve ser ímpar, pois apenas nesse caso o cosseno é negativo (e igual a -1). Deste modo, reescrevemos n como (2n - 1) e temos B:

$\boxed{B = \dfrac{\pi(2n+1)}{\log 5}}}$, n ∈ Z

Finalmentes, buscamos A na inequação

$5^A \cos (B \log 5) < -1\\5^A \cos (\pi(2n+1)) < -1\\5^A \cdot (-1) < (-1)\\5^A > 1 \\\log_5(5^A) > \log_5(1)\\\boxed{A > 0}$

Logo, a resposta do problema, para x é

$\boxed{x=A+Bi, \ A \in \mathbb{R}, \ B \in \mathbb{R}, \ A > 0, \ B = \dfrac{\pi(2n+1)}{\ln 5}, \ n \in \mathbb{Z}}}$