Matemática, perguntado por cindyleaozin, 6 meses atrás

5. Usando as propriedades dos logaritmos, calcule:
a) log3(3 X 81) =
b) log2 (84 : 64) =
c) log2 45 =
d) 5log512 =

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀Usando as propriedades dos logaritmos em cada expressão logarítmica, obtemos:

a) 5
b) ℓog₂ (21) – 4
c) 2ℓog₂ (3) + log₂ (5)
d) 45ℓog (2)

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⠀⠀Logaritmo é uma operação matemática usada bastante por áreas diversas de estudos, ela visa facilitar cálculos mais arrevesados na hora de sua aplicação e possui propriedades um tanto quanto interessantes, cuja algumas delas iremos usar nesta questão.

$\\\begin{array}{l}\bullet~~P_1)~~\ell og_k\,(m\cdot n)=\ell og_k\,(m)+\ell og_k\,(n)\\\\\bullet~~P_2)~~\ell og_k\,(m^n)=\ell og_k\,(m)\cdot n\\\\\bullet~~P_3)~~\ell og_k\,(m:n)=\ell og_k\,(m)-\ell og_k\,(n)\\\\\bullet~~C_d)~~\ell og_k\,(k)=1\end{array}\\\\$

⠀⠀Na P₁ (Propriedade 1), o logaritmo do produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator, permanecendo a mesma base;

⠀⠀Na P₂ (Propriedade 2), o logaritmo da potencia é igual ao logaritmo da base, que é multiplicado pelo expoente dessa base;

⠀⠀Na P₃ (Propriedade 3), o logaritmo da divisão de dois fatores é igual à diferença dos logaritmos de cada fator, permanecendo a mesma base;

⠀⠀Nessa Cd (Consequência da definição), o logaritmo de um número numa base que é igual a esse número é igual a 1. Essa é uma consequência da definição dos logaritmos. Para afins de exemplo, $\ell og_k\,(k)=1$ é verdade pois aplicando a definição, obtemos $k=k^1$ .

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⠀⠀Sendo assim, acompanhe os cálculos abaixo.

⠀⠀Item a) Aqui usamos a P₁, P₂ e Cd.

$\\\Large\begin{array}{c}\ell og_3\,(3\cdot81)=\ell og_3\,(3)+\ell og_3\,(81)\\\\\ell og_3\,(3\cdot81)=1+\ell og_3\,(3^4)\\\\\ell og_3\,(3\cdot81)=1+\ell og_3\,(3)\cdot4\\\\\ell og_3\,(3\cdot81)=1+1\cdot4\\\\\ell og_3\,(3\cdot81)=1+4\\\\\!\boxed{\ell og_3\,(3\cdot81)=5}\end{array}\\\\$

⠀⠀Item b) Nessa aqui usamos a P₁, P₂, P₃ e Cd.

$\\\Large\begin{array}{c}\ell og_2\,(84:64)=\ell og_2\,(84)-\ell og_2\,(64)\\\\\ell og_2\,(84:64)=\ell og_2\,(2^2\cdot21)-\ell og_2\,(2^6)\\\\\ell og_2\,(84:64)=\ell og_2\,(2^2)+\ell og_2\,(21)-\ell og_2\,(2)\cdot6\\\\\ell og_2\,(84:64)=\ell og_2\,(2)\cdot2+\ell og_2\,(21)-1\cdot6\\\\\ell og_2\,(84:64)=1\cdot2+\ell og_2\,(21)-6\\\\\ell og_2\,(84:64)=2+\ell og_2\,(21)-6\\\\\!\boxed{\ell og_2\,(84:64)=\ell og_2\,(21)-4}\end{array}\\\\$

⠀⠀Item c) Agora aqui, usamos a P₁ e P₂.

$\\\Large\begin{array}{c}\ell og_2\,(45)=\ell og_2\,(3^2\cdot5)\\\\\ell og_2\,(45)=\ell og_2\,(3^2)+\ell og_2\,(5)\\\\\ell og_2\,(45)=\ell og_2\,(3)\cdot2+\ell og_2\,(5)\\\\\!\boxed{\ell og_2\,(45)=2\ell og_2\,(3)+\ell og_2\,(5)}\end{array}\\\\$

⠀⠀Item d) E por fim, nesse último item, usamos a P₂.

$\\\Large\begin{array}{c}5\ell og\,(512)=5\ell og\,(2^9)\\\\5\ell og\,(512)=5\ell og\,(2)\cdot9\\\\\!\boxed{5\ell og\,(512)=45\ell og\,(2)}\end{array}\\\\$

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⠀⠀E assim se encerra a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$