5) Um técnico de um time de voleibol ( 6 jogadores) possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição.De quantas maneiras ele poderá escalar seu time ?
a) 4 450 maneiras
b) 5 210 maneiras
c) 4 500 maneiras
d) 5 005 maneiras
Soluções para a tarefa
Resposta:
d) 5 005 maneiras.
Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação.
Como uma equipe de voleibol compete com 6 jogadores, iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos.
Resposta:
d) 5 005 maneiras
Explicação passo-a-passo:
C(15,6)) = 5005 combinações possíveis.
Quando desejamos encontrar o número de combinações possíveis para uma situação onde temos N opções totais de escolha e desejamos montar um grupo com P elementos destas opções (sem possibilidade de repetição) então teremos
. N opções para preencher a vaga 1 no grupo;
. N-1 opções para preencher a vaga 2 no grupo;
. N-2 opções para preencher a vaga 3 no grupo;
...
. N-(P-2) = N-P+2 opções para preencher a vaga n-1 no grupo;
. N-(P-1) = N-P+1 opções para preencher a vaga n no grupo;
Por que N-(P-1) e não N-P para a vaga P? Pois começamos a nossa contagem com a primeira vaga e não com a "vaga zero", por isso a contagem de P e N aparecem defasadas.
Portanto o número de combinações possíveis para esta configuração é de
N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)
Esta multiplicação também pode ser reescrita através da notação da operação FATORIAL como N! / (N-P)! pois sendo N > P temos que
N! = N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*3*2*1
= N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*...*(N-P+1)*(N-P)*(N-P-1)*...*3*2*1
e
(N-P)! = (N-P)*(N-P-1)*(N-P-2)*...*3*2*1
Ou seja
Aqui percebemos o porquê da igualdade: são frações equivalentes.
Tendo compreendido que nossa quantidade total de combinações de P elementos, entre um total de N elementos, será de N! / (N-P)! temos agora que observar uma última coisa: a ordem destes elementos importa? Se tivermos P! diferentes combinações com os mesmos elementos, ou seja, a ordem interna do grupo se alternando entre si (o que chamamos de PERMUTAÇÃO) isso é desejável ou não é?
Caso a resposta seja não então deveremos excluir os casos onde existe permutação entre os elementos do grupo através de uma divisão pelo número P! de permutações, tendo então o que chamamos de uma ARRANJO SIMPLES, onde nossa combinação poderá ser escrita na forma de C(n,p) e o número total de combinações é de
Caso a resposta seja sim então não iremos excluir as permutações e nosso total de combinações permanecerá sendo de n! / (n-p)!.
♥? ★★★★★? Melhor resposta? Você decide.
Bons estudos. ≧◉ᴥ◉≦