Question

5) Um indivíduo com 80 kg de mas está andando em uma roda-gigante que descreve uma circunferência vertical de 10 m de raio a uma velocidade escalar constante de 6,1 m/s. Determine o módulo da força normal exercida pelo assento sobre o indivíduo quando ambos passam pelo ponto mais alto (Fna) da trajetória circular e pelo ponto mais baixo (Fnb). Respectivamente: Considere g= 9,8 m/s ao quadrado

Answer 1

Quando um corpo descreve um movimento circular, a força resultante que age nesse corpo aponta sempre para o centro da trajetória, essa resultante é chamada então de força centrípeta (Fc).

Em razão dessa força centrípeta, o corpo adquire uma aceleração centrípeta (ac) dada por:

$\boxed{a_{c}~=~\dfrac{v^2}{R}}~~~~Onde:\left\{\begin{array}{ccl}v&:&Velocidade\\R&:&Raio~da~trajetoria~circular\end{array}\right.$

Essa aceleração não altera o módulo da velocidade, mas sim sua direção.

Seguindo a 2ª Lei de Newton, a força centrípeta será dada então por:

$\boxed{F_c~=~m\cdot a_c}$

A partir desse ponto, acompanhe com auxilio do desenho anexado.

Como podemos ver na figura, no ponto mais alto da trajetória, temos a força Peso (P) da pessoa apontando para baixo e a reação Normal apontando para cima.  

Como a resultante centrípeta aponta para baixo (o centro da trajetória), P terá modulo maior que N, logo o módulo de N vale:

$Fc~=~P~-~N\\\\\\m\cdot a_c~=~m\cdot g~-~N\\\\\\m\cdot \dfrac{v^2}{R}~=~m\cdot g~-~N\\\\\\N~=~m\cdot g~-~m\cdot \dfrac{v^2}{R}\\\\\\\boxed{N~=~m\cdot \left(g~-~\dfrac{v^2}{R}\right)}\\\\\\Substituindo~os~dados:\\\\\\N~=~80\cdot \left(9,8~-~\dfrac{6,1^2}{10}\right)\\\\\\N~=~80\cdot \left(9,8~-~\dfrac{37,21}{10}\right)\\\\\\N~=~80\cdot \left(9,8~-~3,721}\right)\\\\\\N~=~80\cdot 6,079\\\\\\\boxed{N~=~486,32~N}$

No ponto mais baixo da trajetória, novamente, temos a força Peso (P) da pessoa apontando para baixo e a reação Normal apontando para cima, no entanto a resultante centrípeta aponta agora para cima (o centro da trajetória). Para essa resultante, P terá modulo menor que N, logo o módulo de N vale:

$Fc~=\,-P~+~N\\\\\\m\cdot a_c~=\,-m\cdot g~+~N\\\\\\m\cdot \dfrac{v^2}{R}~=\,-m\cdot g~-~N\\\\\\N~=~m\cdot \dfrac{v^2}{R}~+~m\cdot g\\\\\\\boxed{N~=~m\cdot \left(g~+~\dfrac{v^2}{R}\right)}\\\\\\Substituindo~os~dados:\\\\\\N~=~80\cdot \left(9,8~+~\dfrac{6,1^2}{10}\right)\\\\\\N~=~80\cdot \left(9,8~+~\dfrac{37,21}{10}\right)\\\\\\N~=~80\cdot \left(9,8~+~3,721}\right)\\\\\\N~=~80\cdot 13,521\\\\\\\boxed{N~=~1081,68~N}$

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