Question

5. Sejam a, b e c números reais com a e b diferentes de 0. Prove que existe um número real x tal que asen(x) + bcos(x) = c se, e somente se, a² + b² ≥ c².

Answer 1

Vamos tentar obter x com o que temos para tentar chegar numa solução, para começar a manipular algebricamente, usamos a identidade trigonométrica de modo a lidar somente com o cosseno,

$a\sqrt{1-\cos^2 x}+ b\cos x = c \iff a\sqrt{1-\cos^2 x} = c-b\cos x$

$a^2(1-\cos^2 x) = c^2-2cb \cos x+ b^2 \cos^2 x$

Chamando $u = \cos x$,

$a^2-a^2u^2=c^2-2bcu+b^2u^2 \iff (a^2+b^2)u^2-2bcu+c^2-a^2=0$

Resolvendo a equação do segundo grau para u obtemos

$u = \dfrac{2bc\pm \sqrt{4b^2c^2-4(a^2+b^2)(c^2-a^2)}}{2(a^2+b^2)}$

$u = \dfrac{2bc\pm\sqrt{4b^2c^2-4a^2c^2-4b^2c^2+4a^4+4a^2b^2}}{2(a^2+b^2)}$

$u = \dfrac{2bc\pm\sqrt{-4a^2c^2+4a^4+4a^2b^2}}{2(a^2+b^2)} = \dfrac{2bc\pm\sqrt{4a^2(a^2+b^2-c^2)}}{2(a^2+b^2)}$

$u = \dfrac{2bc\pm2a\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{2(a^2+b^2)} = \dfrac{bc\pm a\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}$

Se u existe, a raiz deve ser positiva, ou seja,

$a^2+b^2-c^2\geq 0 \iff a^2+b^2\geq c^2$