Question

13. Seja 0º < θ < 45º , coloque em ordem decrescente os valores 〖(tg(θ))〗^(tg(θ)) ,(〖tg(θ))〗^cotg(θ) ,(cotg(θ))^tg(θ) e 〖(cotg(θ))〗^(cotg(θ)) .

Answer 1

Como $0\leq \theta \leq 45°$, sabemos que

$0\leq \mathrm{tg}(\theta)\leq 1$

Assuma a variável x como sendo

$x=\mathrm{tg}(\theta)$

Nossas expressões tornam-se, portanto,

$\mathrm{tg}(\theta)^{\mathrm{tg}(\theta)} \rightarrow x^x$

$\mathrm{tg}(\theta)^{\mathrm{cotg}(\theta)} \rightarrow x^{\frac{1}{x}}$

$\mathrm{cotg}(\theta)^{\mathrm{tg}(\theta)} \rightarrow \left(\dfrac{1}{x}\right)^x = x^{-x}$

$\mathrm{cotg}(\theta)^{\mathrm{cotg}(\theta)} \rightarrow \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}= x^{-\frac{1}{x}}$

$0\leq x \leq 1$

Comparando, obtemos que

( 1 ) com ( 2 )

$x^x>x^{\frac{1}{x}}$

Uma vez que

$\log_x(x^x)=x<\dfrac{1}{x}=\log_x(x^{\frac{1}{x}}) \implies x^x>x^{\frac{1}{x}}$

Uma vez que o logaritmo numa base menor que 1 é decrescente.

Portanto as comparações seguem uma regra, se os coeficentes estão num sentido de comparação, as expressões vão no sentido oposto, portanto, podemos comparar todas juntas e inverter todas de uma vez. Se queremos uma ordem decrescente de expressões, colocamos os expoentes em ordem crescente

$-\dfrac{1}{x} < -x < x < \dfrac{1}{x}$

$x^{-\frac{1}{x}}> x^{-x} > x^x> x^{\frac{1}{x}}$

$\mathrm{cotg}(\theta)^{\mathrm{cotg}(\theta)}>\mathrm{cotg}(\theta)^{\mathrm{tg}(\theta)}>\mathrm{tg}(\theta)^{\mathrm{tg}(\theta)}>\mathrm{tg}(\theta)^{\mathrm{cotg}(\theta)}$