Matemática, perguntado por pekizinha123, 5 meses atrás

5.seja Z=2+7i, qual o valor de Z . Z(conjugado)

A) 50
B )52
C) 53
D) 54
E) 55

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀O valor da expressão dada se configura na alternativa c) 53.

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Considerações

⠀⠀Um número complexo se situa na forma algébrica $z=a+bi$ , em que:

$\small\text{$z$}$ : representa o número complexo — também pode ser representado por outras letras;
$a$ : parte real — $\small\text{$Re(z)$}$ ;
$b$ : parte imaginária — $\small\text{$Im(z)$}$ ;
$i$ : unidade imaginária, que é multiplicada pela parte imaginária — seu valor corresponde à $\small\text{$i=\sqrt{-\,1}$}$ .

⠀⠀Obs.: os valores de $a$ e $b$ $\in\mathbb{R}$ .

⠀⠀Já o conjugado de um número complexo se situa na forma algébrica $\overline{z}=a-bi$ , assim, o conjugado de $z$ terá sua parte imaginária com o sinal trocado.

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Voltando à questão

⠀⠀Sabemos que $z=2+7i$ e desejamos encontrar o valor da expressão $z\cdot\overline{z}$ . Veja que, com base no supradito obtemos a relação:

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$\Large\begin{array}{c}z\cdot\overline{z}=(2+7i)\cdot(2-7i)\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, podemos desenvolver esse produto por distributiva — o que nos traria um pouco mais de contas para se fazer —, ou pelo ''macete'' do seguinte produto notável $\small\text{$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$}$ :

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$\Large\begin{array}{c}z\cdot\overline{z}=(2)^2-(7i)^2\\\\z\cdot\overline{z}=4-49i^2\\\\\end{array}$

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⠀⠀Lembra que $\small\text{$i=\sqrt{-\,1}$}$ ? Logo, temos que $\small\text{$i^2=(\sqrt{-\,1})^2=-\,1$}$ :

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$\Large\begin{array}{c}z\cdot\overline{z}=4-49\cdot(-\,1)\\\\z\cdot\overline{z}=4+49\\\\\!\boxed{z\cdot\overline{z}=53}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que a alternativa c) 53 responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$