Question

5. Se a equação 25^x+ 125 = 6 .5^x+1 admite como solução números reais. Determine esses números.

Answer 1

25^x + 125 = 6 . 5^x+1


([5]^x)^2+ 125 = 6 . 5^1 . 5^x

([5]^x)^2 + 125 = 6 . 5 . 5^x

([5]^x)^2 + 125 = 30 . 5^x



vamos simplicar o numero cinco f e ficara assim essa operacao :

x^2 + 125 = 30x

X^2 - 30 x + 125 = 0

a = 1 ; b = - 30 ; c = 125

FORMULA DELTA
>>>>>>>>>>>>>>>>

D = b^2 - 4 a c

D = ( - 30 )^2 - 4 (1) (125)

D = 900 - 4 (125)

D = 900 - 500

D = 400


FORMULA DA BRASKARA
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

X = - b + ; - \/D
......._________
................2a

X = - (-30) + ; - \/400
......._____________
....................2(1)

X = 30 + : - 20
......_________
...............2

X1 = 30 + 20
........______
...............2

X1 = 50
........___
...........2

X1 = 25

((((((((((((((((((((((((((

X2 = 30 - 20
.........______
...............5

X2 = 10
.........__
..........5

X2 = 2


S { 5 ; 25 }

Answer 2

Note que $25^x=(5^x)^2$ e $5^{x+1}=5\cdot5^x$

$25^{x}+125=6\cdot5^{x+1}$

$(5^x)^2+125=6\cdot5\cdot5^x$

$(5^x)^2+125=30\cdot5^{x}$

$(5^x)^2-30\cdot5^x+125=0$

Fazendo $5^x=y$, obtemos:

$y^2-30y+125=0$

$\Delta=(-30)^2-4\cdot1\cdot125=900-500=400$

$y=\dfrac{-(-30)\pm\sqrt{400}}{2\cdot1}=\dfrac{30\pm20}{2}=15\pm10$

$y'=15+10~\longrightarrow~y=25$

$y"=15-10~\longrightarrow~y=5$

Para $y=25~\longrightarrow~5^x=25~\longrightarrow~5^x=5^2~\longrightarrow~\boxed{x=2}$

Para $y=5~\longrightarrow~5^x=5~\longrightarrow~5^x=5^1~\longrightarrow~\boxed{x=1}$

$\text{S}=\{1,2\}$