Question

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Sabendo que uma das raízes da equação x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 é o número 2:
a) Descubra as outras raízes;
b) Decomponha o polinômio p(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 em fatores do 1º grau.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações algébricas e suas raízes.

Sabendo que uma das raízes da equação $x^3-6x^2+11x-6=0$ é o número $2$, devemos:

a) Descobrir as outras raízes

Existem diversos métodos para encontrá-las. Lembre-se que em uma equação algébrica de coeficientes reais de grau $n$, de forma $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0=0$, tem $n$ raízes.

Assim, nos resta descobrir as outras duas soluções desta equação.

Utilizando as Relações de Girard, sabemos que a soma das raízes é dada por: $S_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$ e seu produto por $P_n=\dfrac{(-1)^n\cdot a_0}{a_n}$. Substituindo os coeficientes e o grau da equação nas fórmulas, temos:

$\begin{cases}S_3=-\dfrac{-6}{1}=6\\\\ P_3=\dfrac{(-1)^3\cdot (-6)}{1}=6\\\end{cases}$

Considerando as soluções $x_1,~x_2$  e $x_3=2$ valor cedido pelo enunciado, temos:

$\begin{cases}x_1+x_2+2=6\\ x_1\cdot x_2\cdot 2=6\\\end{cases}$

Subtraia $2$ em ambos os lados da primeira equação e divida ambos os lados da segunda equação por um fator $2$

$\begin{cases}x_1+x_2=4\\ x_1\cdot x_2=3\\\end{cases}$

Utilizamos o método da substituição para resolvermos o sistema de equações: faça $x_1=4-x_2$ e substitua este resultado na segunda equação

$(4-x_2)\cdot x_2=3$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$4x_2-{x_2}^2=3$

Resolva a equação quadrática utilizando a fórmula resolutiva $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$x_2=1~~\bold{ou}~~x_2=3$

Substituindo estes resultados em $x_1=4-x_2$, temos:

$x_1=3~~\bold{ou}~~x_1=1$

Logo, as outras raízes da equação são os números $1$ e $3$.

b) Decompor o polinômio $p(x)=x^3-6x^2+11x-6$ em fatores do $1^{\circ}$ grau

Devemos escrever o polinômio em sua forma canônica $a_n\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot (x-x_3)$

Substituindo os valores que encontramos no passo anterior, temos:

$1\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot(x-3)\\\\\\ (x-1)(x-2)(x-3)$

Esta é a forma fatorada desta equação em fatores de $1^{\circ}$ grau.