Question

5) Resolva as equações diferencias de segunda ordem abaixo, encontre a solução
particular dos (PVI).

d) 2y'' + y' - y = 0 onde: y(0) = 3, y'(0) = 3

Answer 1

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Resolver o problema de valor inicial:

2y'' + y' – y = 0;      y(0) = 3,  y'(0) = 3.


Temos uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, linear, homogênea e a coeficientes constantes.

•  Encontrando as raízes do polinômio característico:

2λ² + λ – 1 = 0   ———>    a = 2,  b = 1,  c = – 1


Δ = b² – 4ac

Δ = 1² – 4 · 2 · (– 1)

Δ = 1 + 8

Δ = 9

Δ = 3²


          – b ± √Δ
λ  =  ——————
               2a

          – 1 ± √3²
λ  =  ——————
              2 · 2

         – 1 ± 3
λ  =  —————
              4

           – 1 – 3                          – 1 + 3
λ₁  =  —————     e     λ₂  =  —————
               4                                    4

           – 4                          2
λ₁  =  ———     e     λ₂  =  ——
            4                            4

                                  1
λ₁ = – 1    e     λ₂  =  ——      <———   raízes
                                  2


As raízes do polinômio característico são reais e distintas. Logo, a base geradora para a solução da EDO homogênea é

$\mathsf{\left\{e^{\lambda_1 x},\,e^{\lambda_2 x}\right\}}\\\\ \mathsf{\left\{e^{-x},\,e^{(1/2)x}\right\}}$


Solução geral da EDO homogênea:

$\mathsf{y(x)=C_1\,e^{-x}+C_2\,e^{(1/2)x}}$          ✔

—————

Para determinar as constantes  C₁  e  C₂,  usamos as informações dadas pelo PVI:

•   $\mathsf{y(0)=3}$

$\mathsf{C_1\,e^{-0}+C_2\,e^{(1/2)\cdot 0}=3}\\\\ \mathsf{C_1\,e^0+C_2\,e^0=3}\\\\ \mathsf{C_1\cdot 1+C_2\cdot 1=3}\\\\ \mathsf{C_1+C_2=3\qquad\quad (i)}$


•   $\mathsf{y'(0)=3}$

Derivando  y  com relação a  x, obtemos

$\mathsf{y'(x)=C_1\cdot \big(\!-e^{-x}\big)+C_2\cdot \left(\dfrac{1}{2}\,e^{(1/2)x}\right)}$

$\mathsf{y'(x)=-\,C_1\,e^{-x}+\dfrac{1}{2}\,C_2\,e^{(1/2)x}}$          ✔


Portanto, devemos ter

$\mathsf{-\,C_1\,e^{-0}+\dfrac{1}{2}\,C_2\,e^{(1/2)\cdot 0}=3}\\\\\\ \mathsf{-\,C_1+\dfrac{1}{2}\,C_2=3\quad\longrightarrow\quad \times (-2)}\\\\\\ \mathsf{2C_1-C_2=-6\qquad\quad(ii)}$


Agora, resolvemos o sistema formado pelas equações  (i)  e  (ii):

   C₁ + C₂ =    3          (i)
2C₁ – C₂ = – 6          (ii)


Somando as duas equações membro a membro, eliminamos C₂, e obtemos

C₁ + 2C₁ = 3 – 6

3C₁ = – 3

           – 3
C₁  =  ———
             3

C₁ = – 1          ✔


Substituindo na equação  (i), obtemos

– 1 + C₂ = 3

C₂ = 3 + 1

C₂ = 4          ✔

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Portanto, a solução para o PVI dado é

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y(x)=-\,e^{-x}+4e^{(1/2)x}}\end{array}}\quad\longleftarrow\quad \textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  equação diferencial ordinária linear homogênea edo cálculo problema valor inicial pvi cálculo diferencial integral