Question

5- Que termo devemos adicionar à expressão 4x⁸- 6x⁴y + 9y² para que ela represente o
quadrado de uma soma?
a) 6x⁴y
c) 18X⁴y
b) 12x⁴y
d) 24x⁴y​

Answer 1

Olá.

Dê uma estudada nas propriedades da potenciação, na imagem abaixo.

Vamos ver um dos produtos notáveis:

Quadrado da Soma de Dois Termos:

(a+b)² = (a+b)*(a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + 2ab + b²

4x⁸- 6x⁴y + 9y²

Considerando os termos das alternativas do exercício podemos verificar que a alteração pedida será apenas no termo intermediário, o 2ab, pois são alternativas que têm como variáveis x⁴y.

Portanto podemos recuperar o termo a e o termo b fazendo a raiz quadrada de a² e b² que aparecem na resposta, que são justamente 4x⁸ e 9y².

Isso é possível porque a operação contrária da potenciação é a radiciação: o que uma faz, a outra desfaz. Veja:

Ex.:

$8^{2} = 64$  e  $\sqrt{64}=8$  (se vai elevando ao quadrado, volta com raiz quadrada)

$2^{3}=8$    e  $\sqrt[3]{8} =2$  (se vai elevando ao cubo, volta com raiz cúbica)

...

Daí, retirando as raízes quadradas, os termos 4x⁸ e 9y² resultarão em:

$\sqrt[2]{4x^{8}} =\sqrt[2]{2^{2}*(x^{4})^{2}} =2*x^{4}=2x^{4}$

$\sqrt[2]{9y^{2}} =\sqrt[2]{3^{2}*y^{2}} =3*y=3y$

Portanto, os termos a e b são 2x⁴ e  3y

Façamos agora o produto notável Quadrado da Soma de Dois Termos, para termos o resultado completo e ver a parcela que está faltando no exercício:

$(2x^{4}+3y)^{2}=$

$=(2x^{4})^{2} +2*(2x^{4})*(3y)+(3y)^{2}$

$=4x^{8} + (2*2*3)*(x^{4}*y)+9y^{2}$

$=4x^{8} + 12*(x^{4}*y)+9y^{2}$

$=4x^{8} + 12x^{4}y+9y^{2}$

A resposta do exercício foi  4x⁸- 6x⁴y + 9y².

Para que $-6x^{4}y$ se torne $+12x^{4}y$ , façamos sua diferença (subtração), para vermos a quantidade que está faltando:

$+12x^{4}y-(-6x^{4}y) =$

$=12x^{4}y+6x^{4}y$

$=18x^{4}y$

     

===================  

Verificando:

$(4x^{8}- 6x^{4}y + 9y^{2}) +18x^{4}y=$

$=4x^{8}- 6x^{4}y +18x^{4}y+ 9y^{2}$

$=4x^{8}+12x^{4}y+ 9y^{2}$

$=(2x^{4}+3y)^{2}$

Bons estudos.