Question

5 - O protótipo de um veículo esta sendo testado e sua velocidade no tempo x

é dada pela função abaixo :

$\mathtt{F(x)~=~} \begin{cases} \mathtt{ \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}~se~0≤x<2 } \\ \\ \mathtt{ ax^2-bx+3~se~2≤x<3 } \\ \\ \mathtt{ 2x - a + b~se~x≥3 } \end{cases}$

Os engenheiros do protótipo desejam que a velocidade apresente um

comportamento de uma função contínua, ou seja, que ela não mude

abruptamente em um determinado tempo. Neste caso, os valores de e que

tornam a função f contínua, são??

Responda detalhamente , explorar de melhor forma o Latex.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{a = b = \dfrac{1}{2}} }$

Explicação passo-a-passo:

(i) Conceitos Preliminares

Seja $f$ uma função definida em um intervalo aberto $\mathcal{I}$ e $a$ um elemento de $\mathcal{I}$. Portanto, dizemos que $f$ é contínua em $a$ se $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

@Marcelo, note que para falarmos em continuidade de uma função em um dado ponto é necessário que esse ponto pertença ao domínio, óbvio.

D'um modo geral, se $f$ é contínua em $a \in \mathcal{I}$, devem ser satisfeitas as seguintes condições:

• Existir $f(a)$;

• Existir $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$

• $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

• $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$

(ii) Solucionando o problema

Observe os pontos (ou elementos) que constituem o domínio $x \in \{0; 2; 3 \}$, devem existir respectivamente $f(0); f(2); f(3)$ para que a função seja contínua, e os limites laterais devem ser exactamente idênticos, matematicamente,

1. Para o ponto (ou elemento 2) $f(2) = \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. Para o ponto (ou elemento 3) $f(3) = \displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x)$

1. Analisemos detalhadamente os limites laterais referentemente ao elemento 2, observe,

1. 1. Limite lateral direito

$\iff \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$

$\iff \displaystyle\lim_{x\to 2^+} ax^2 - bx + 3 = f(2)$

$\iff 4a - 2b + 3 = f(2) ~~~~ (i)$

1. 2. Limite lateral esquerdo

$\iff \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2)$

$\iff \displaystyle\lim_{x\to 2^-} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = f(2)$

$\iff \displaystyle\lim_{x\to 2^-} (x + 2) = f(2)$

$\iff 4 = f(2) ~~~~~ (ii)$

Portanto, para que a função seja contínua em 2, devem se satisfazer as igualdades supracitadas no princípio da resolução (acoplando $i$ e $ii$), deste modo,

$\iff 4a - bx + 3 = 4$

$\iff \boxed{4a - 2b = 1}$

2. Referentemente ao elemento 3, ficamos com,

2. 1. Limite lateral direito

$\iff \displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$

$\iff \displaystyle\lim_{x\to 3^+} 2x - a + b = f(3)$

$\iff 6 - a + b= f(3) ~~~~ (i)$

2. 2. Limite lateral esquerdo

$\iff \displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3)$

$\iff \displaystyle\lim_{x\to 3^-} ax^2 -bx + 3 = f(3)$

$\iff 9a -3b + 3= f(3) ~~~~~ (ii)$

Deste modo (acoplando $i$ e $ii$) ficamos com,

$\iff 6 - a + b = 9a -3b + 3$

$\iff \boxed{10a - 4b = 3}$

Basta resolver o sistema de equações para encontrar a resposta, portanto, tendo,

$\begin{cases} 4a - 2b = 1 \\ 10a - 4b = 3 \end{cases}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S =} \left\{ \left(\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right) \right\}}}$

Portanto, completando a nossa função ficamos com,

$\red{\boxed{f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} ~, ~ \green{0 \leqslant x<2} \\ \\ \dfrac{x^2}{2} -\dfrac{x}{2} +3 ~, ~ \green{2 \leqslant x<3} \\ \\ 2x ~,~ \green{x \geqslant 3} \end{cases}}}$

Espero ter colaborado!\ZIBIA

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