Question

5) Mostre que os vetores −→u = (1, 1) e −→v = (−1, 1) formam uma base de R 2 . Exprima cada um dos vetores −→i = (1, 0) e −→j = (0, 1) como combinação linear dos elementos dessa base.

Answer 1

Para que $\mathsf{\mathbb{R}_2 \ = \ [\vec{u}, \vec{v}],}$ o conjunto desses vetores deve ser linearmente independente e gerar o tal espaço.

Independência linear:

$\mathsf{\alpha \cdot \vec{u} \ + \ \beta \cdot \vec{v} \ = \ \vec{0} \ \Rightarrow \ \alpha \ = \ \beta \ = \ 0}$

$\mathsf{(\alpha, \alpha) \ + \ (-\beta, \beta) \ = \ (0,0)}$

$\mathsf{\alpha \ - \ \beta \ = \ \alpha \ + \ \beta \ = \ 0 \ \Rightarrow \ \alpha \ = \ \beta \ = \ 0}$

Os vetores são então linearmente independentes.

Espaço gerado:

Vamos provar que $\mathsf{\forall \ \lambda, \mu \ \in \ \mathbb{R}, \lambda \cdot \vec{u} \ + \ \mu \cdot \vec{v} \ \in \ \mathbb{R}_2:}$

$\mathsf{\lambda \cdot \vec{u} \ + \ \mu \cdot \vec{v} \ = \ (\lambda, \ \lambda) \ + \ (-\mu, \mu)}$

$\mathsf{ \ = \ (\lambda \ - \ \mu, \ \lambda \ + \ \mu)}$

Sendo $\mathsf{\lambda \ - \ \mu \ = \ \eta, \ \lambda \ + \ \mu \ = \omega:}$

$\mathsf{= \ (\eta, \omega) \ = \ \eta \cdot \underbrace{(1,0)}_{\hat i} \ + \ \omega \cdot \underbrace{(0,1)}_{\hat j} \ = \ \eta \cdot \hat i \ + \ \omega \cdot \hat j \ \in \ \mathbb{R}_2}$

Conseguimos escrever assim qualquer combinação linear desses dois vetores como sendo um elemento do espaço.

Por fim, seja $\mathsf{B \ = \{\vec{u}, \ \vec{v}\}}$. Os versores canônicos são escritos como:

$\mathsf{\hat i \ = \ (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})_B, \ \ \hat j \ = \ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})_B}$