Matemática, perguntado por anaclaratorresm4170, 11 meses atrás

5) Mostre que os vetores −→u = (1, 1) e −→v = (−1, 1) formam uma base de R 2 . Exprima cada um dos vetores −→i = (1, 0) e −→j = (0, 1) como combinação linear dos elementos dessa base.

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Para que \mathsf{\mathbb{R}_2 \ = \ [\vec{u}, \vec{v}],} o conjunto desses vetores deve ser linearmente independente e gerar o tal espaço.

Independência linear:

\mathsf{\alpha \cdot \vec{u} \ + \ \beta \cdot \vec{v} \ = \ \vec{0} \ \Rightarrow \ \alpha \ = \ \beta \ = \ 0}

\mathsf{(\alpha, \alpha) \ + \ (-\beta, \beta) \ = \ (0,0)}

\mathsf{\alpha \ - \ \beta \ = \ \alpha \ + \ \beta \ = \ 0 \ \Rightarrow \ \alpha \ = \ \beta \ = \ 0}

Os vetores são então linearmente independentes.

Espaço gerado:

Vamos provar que \mathsf{\forall \ \lambda, \mu \ \in \ \mathbb{R}, \lambda \cdot \vec{u} \ + \ \mu \cdot \vec{v} \ \in \ \mathbb{R}_2:}

\mathsf{\lambda \cdot \vec{u} \ + \ \mu \cdot \vec{v} \ = \ (\lambda, \ \lambda) \ + \ (-\mu, \mu)}

\mathsf{ \ = \ (\lambda \ - \ \mu, \ \lambda \ + \ \mu)}

Sendo \mathsf{\lambda \ - \ \mu \ = \ \eta, \ \lambda \ + \ \mu \ = \omega:}

\mathsf{= \ (\eta, \omega) \ = \ \eta \cdot \underbrace{(1,0)}_{\hat i} \ + \ \omega \cdot \underbrace{(0,1)}_{\hat j} \ = \ \eta \cdot \hat i \ + \ \omega \cdot \hat j \ \in \ \mathbb{R}_2}

Conseguimos escrever assim qualquer combinação linear desses dois vetores como sendo um elemento do espaço.

Por fim, seja \mathsf{B \ = \{\vec{u}, \ \vec{v}\}}. Os versores canônicos são escritos como:

\mathsf{\hat i \ = \ (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})_B, \ \ \hat j \ = \ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})_B}

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