5) Monte a tabela verdade da expressão.
(~p^v~q)
Soluções para a tarefa
Conectivos e valores lógicos
Conectivos: (Termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes.)
"e", "ou", "não", "se... então... ", "se e somente se ..."
Valores lógicos das proposições: Verdade (V) e Falsidade (F).
Tabelas verdade
A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes.
A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposições simples: p e q e a segunda, três proposições simples: p, q e r. As células de ambas as tabelas são preenchidas com valores lógicos V e F, de modo a esgotar todas as possíveis combinações. O número de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o cálculo: 2 elevado ao número de proposições simples. Nos exemplos abaixo tem-se 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas.
p q
V V
V F
F V
F F
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Valor lógico da proposição
Notação: O valor lógico de uma proposição simples indica-se por V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula).
Exemplos de proposições simples: p : um triângulo têm três lados.
q : Blumenau é um país.
V(p) = V V(q) = F (Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F (falso))
Exemplo de proposição composta: p : o sol é uma estrela ou
q : a terra é uma estrela.
P(p,q) = p v q V(P) = V (O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto abaixo)
Operações lógicas
Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas descritas em cada operação a seguir.
Negação (~) "~p" lê-se "não p".
Exemplo:
p : Joana é bonita
~p : Joana não é bonita
ou ~p : Não é verdade que Joana é bonita
ou ~p : É falso que Joana é bonita
p ~p
V F
F V
Conjunção (^) "p ^ q" lê-se "p e q".
Exemplo:
p : A neve é branca (V)
q : 2 < 5 (V)
p ^ q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
Representação:
V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V
Leitura:
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Valor lógico de (p e q) é igual a ou, de outro modo, valor lógico de (p) e valor lógico de(q) é igual a ou resulta em verdade e verdade que é igual a verdade.
Disjunção (v) "p v q" lê-se "p ou q".
Exemplo:
p : Blumenau é a capital de SC (F)
q : 5/7 é uma fração própria (V)
p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é uma fração própria (V)
V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Disjunção exclusiva (v) "p v q" lê-se "ou p ou q", mas não ambos ou ainda "ou exclusivo".
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
O valor lógico é Falso(F)
quando p e q são ambas
verdadeiras ou ambas falsas.
Exemplo:
P : Carlos é médico ou professor
Q : Antônio é catarinense ou gaúcho.
Na proposição composta P pelo menos uma das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. ("ou" inclusivo).
Na proposição composta Q apenas uma das proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo).
Condicional (—>) "p —> q" lê-se "se p então q" ("—>" símbolo de implicação).
p q p —> q
V V V
V F F
F V V
F F V
O valor lógico é Falso(F) no caso
em que p é verdadeira e q é falsa.
Exemplo:
p : A terra é uma estrela (F)
q : O ano tem nove meses (F)
p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano tem nove meses (V)
V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V
Bicondicional (<—>) "p <—> q" lê-se "p se e somente se q".
p q p <–> q
V V V
V F F
F V F
F F V
CONTINUA .....
p : x é menor que zero
q : x é negativo
q —> p : Se x é negativo,então x é menor que zero.
A contrapositiva é
~p —> ~q : Se x não é menor que zero, então x não é negativo.
Portanto, (q —> p <==> ~p —> ~q) (Proposições equivalentes).
Toda proposição pode ser levada para a forma normal equivalente pela eliminação dos conectivos —> e <—>.
Pode-se comprovar esta afirmação de igualdade acima construindo as respectivas tabelas verdade.
(p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p).
Exemplo:
p : A terra é plana (F)
q : 10 é um número primo (F)
p <—> q : A terra é plana se e somente se 10 for um número primo (V)
V(p <—> q) = V(p) <—> V(q) = F <—> F = V
Construção de tabelas verdade
a) Construir a tabela verdade da seguinte proposição: P(p,q) = ~(p ^ ~q).